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例題(LC回路) 抵抗なし |
インダクタンスLのコイル、電気容量Cのコンデンサ を電源に直列につないだときの
インパルス応答を求めよ
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電気用図記号 変わります |
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微分法則 ( y’ )
= - y(0) + s ( y )
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微分法則( y’ )
= - y(0) + s ( y ) |
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( Ls + 1/Cs )は 「特性関数」 または 「インピーダンス」 |
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単位インパルス 単位関数 インパルス応答 単位応答 |
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左の式は ( i )
= ( Ls + 1/Cs )-1ともかけるね。 この( Ls + 1/Cs )-1を 「伝達関数」と いいます 今､ i は インパルス応答だから ( インパルス応答 )= ( 伝達関数 ) |
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検算しましょう |
出来た答えを微分して元の方程式に代入し、成り立つかどうか確かめよう。
i(t) = (1/L)・cos(ωt) ただし ω = √(1/LC) だから i'(t) = - (ω/L)・sin(ωt) = -1/L√(LC)・sin(ωt) q(t) = ∫i(t)dt = 1/(Lω)・sin(ωt) = √(C/L)・sin(ωt) （積分定数は0にしました） 元の方程式 L di(t)/dt + q(t)/C に代入すると = 0 これは t>0 での E(t)= δ(t)と同じなのでOK 初期条件も代入してみよう。 q(0) = 0 これはOK。だけど i(0) = (1/L)・cos(0) = 1/L 合いませんよ！？ 実は、 インパルス応答のときは t=0 を代入して成り立たないこともあります。 インパルス応答というのは、 t=0 の瞬間を表現するにはちと無理があるのです。 | |
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解を味わう |
今回得られた解はすごい！ どこがすごいって、電源に波なんか入れてないのに、 こういう電圧（一瞬だけONであとOFF）に対し E  ti(t)= (1/L)・cos(ωt)っていう、 振動する電流が流れるんですよ！ i(t)  tすごくないですか！？ 電源が振動してたわけじゃなく､ この回路は､この回路の個性として､ この周波数で振動したいんですよ！ 電圧ONになったのは一瞬だけで、あとずっと電圧ゼロなのに、 電流はずーっとなくならないで続いてるし！ さらに、この波の角周波数ω = √(1/LC)なので、 LとCを調整すれば、好きな周波数の波にできるんですよ！ |
小学生的に考えると、 こういう電圧なら E tこういう電流って思ったりしません？ i tそれとも、小学生だったら 「コンデンサのとこで電線が切れてるから電流流れない」かな？ |
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の両端の電圧
L di(t)/dt,
コンデンサ 
の両端の電圧
q(t)/C,
合計が 電源の起電力E(t)と等しくなるので､