東北工業大学 情報通信工学科 中川研究室


ラプラス変換

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例題
ラプラス変換を使って、電気回路の応答を調べる問題

インダクタンスLのコイル、抵抗値Rの抵抗、電気容量Cのコンデンサ を電源に直列につなぎ、 時刻 t=0 にスイッチを入れた。これ以降の電流 i(t) を求めよ

をやってみましょう。


1.方程式をたてる
電流i(t) が流れる時、抵抗の両端には
V = R i(t) の電圧降下が生じます。
電流を i とかかずにi(t)と書いているのは、電流が時間tによって変化する可能性があるからです。

コイルというのはおもしろいやつで、 電流が変化しようとすると、それに逆らうように 電流の変化 di(t)/dt に比例した逆向きの起電力 L di(t)/dt を生じます。
新たに電流が流れようとすると「来ないで!」 電流が消えようとすると「消えないで!」という感じに動作します。 演歌調ですね。

容量Cのコンデンサ の両端には
電荷をq(t)とすると、q=CV より、
q(t)/C の電圧が生じます。

各パーツの電圧降下の合計が 電源の起電力E(t)と等しくなるので、

L di(t)/dt + R i(t) + q(t)/C = E(t)

これが解くべき微分方程式となります。

電荷 q(t)とか電源の起電力 E(t)にもいちいち(t) をつけているのは、 時間tによって変化する可能性があるからです。 もし、電源が直流(E(t)=一定)なら、E(t)は単に E と書いて良いです。

また、もしもコンデンサが出てこない問題なら、

L di(t)/dt + R i(t) = E(t)

だけでいいですよね。他のパーツの場合も同じです。無いパーツは書かなくて良いです。
電気用図記号
変わります


2.両辺をラプラス変換する
Lラプラス変換( i ' ) + Rラプラス変換( i ) + (1/C)ラプラス変換( q ) = ラプラス変換( E )
単にラプラス変換をつけるだけです。


3.ラプラス変換の微分法則 を使う
微分のラプラス変換のところラプラス変換( i ' )に
微分法則 ラプラス変換( i ' ) = -i(0) + sラプラス変換( i ) を代入
-Li(0) + Lsラプラス変換( i ) + Rラプラス変換( i ) + (1/C)ラプラス変換( q ) = ラプラス変換( E )
両辺にLi(0)を足して
Lsラプラス変換( i ) + Rラプラス変換( i ) + (1/C)ラプラス変換( q ) = ラプラス変換( E ) + Li(0)
微分法則
ラプラス変換( y’ ) =
- y(0) + s ラプラス変換( y )

4.電荷q(t)と電流i(t)の関係を考える
左辺は電流i(t) についての式、のつもりが、1か所だけ 電流じゃなくて電荷q(t)が入っています。 このままじゃ解けないですね。 電荷の出てくるところを電流の式で書き直したいものです。

電流とは、単位時間あたりの電荷q(t)の移動量のことでした。これを使います。
コンデンサという名の駐車場に電荷という名の車が増えつづけている間は、 取り付き道路上を電荷という名の車が走ってるはずですね。 ですから、電荷の増加率と電流が等しくなっているはずです。 これを式で書くと
dq(t)/dt = i(t)  
ここで、だまされたと思って両辺をラプラス変換してみてください。 ラプラス変換( q ') = ラプラス変換( i )  
左辺に微分法則を使い、
-q(0) + sラプラス変換( q ) = ラプラス変換( i )  
両辺にq(0)を足して、その後 sで割れば
     ラプラス変換( q ) ={ ラプラス変換( i ) + q(0) }/s
微分法則
ラプラス変換( y’ ) =
- y(0) + s ラプラス変換( y )

5.ラプラス変換( i )だけの式にする
ラプラス変換( q ) の式を元の方程式に代入して
Lsラプラス変換( i ) + Rラプラス変換( i ) + (1/Cs)ラプラス変換( i ) + q(0)/Cs
         = ラプラス変換( E ) + Li(0)
ラプラス変換( i )の出てくる項を左辺に、それ以外を右辺にまとめて
( Ls + R + 1/Cs ) ラプラス変換( i )
         = ラプラス変換( E ) + Li(0) - q(0)/Cs


( Ls + R + 1/Cs )は
「特性関数」 又は
「インピーダンス」


重畳定理はここから

6.右辺を計算する
問題文に i(0), q(0)が書いてあるときはそれを代入してください。 また、「応答を求めよ」となっている場合は、 i(0) = 0, q(0)=0 という約束なのでこれらを代入します。
ラプラス変換( E ) は、ラプラス変換の定義どおりに、
E(t) に e-st かけてt=0から∞まで積分してください。
単位インパルス
単位関数
インパルス応答
単位応答

7.左辺をラプラス変換( y ) = の形にして整理
( Ls + R + 1/Cs ) ラプラス変換( i ) ={ 右辺の計算結果 }

変形して
( Ls2 + Rs + 1/C )/s ラプラス変換( i ) ={ 右辺の計算結果 }

両辺にs/( Ls2 + Rs + 1/C )をかけ
ラプラス変換( i ) = { 右辺の計算結果 } s/( Ls2 + Rs + 1/C )

8.右辺が何のラプラス変換か考える
ラプラス変換( i ) = ラプラス変換( なにか )

9.両辺のラプラス変換( )を同時にはずす
i = なにか
ラプラス変換(f)ラプラス変換(g)は
ラプラス変換(fg)ではない
ので注意



前に
計算したのを
思い出す

検算しましょう
出来た答えを微分して元の方程式に代入し、成り立つかどうか確かめよう。
初期条件も代入して確かめよう。ただし、 インパルス応答のときは t=0 を代入して成り立たないこともあります。


実際に回路の問題を解く
合成法則 ラプラス変換(f)ラプラス変換(g)=ラプラス変換(f*g) へ進む
重畳定理 i=E*w へ進む

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