東北工業大学 情報通信工学科 中川研究室


ラプラス変換

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例題
ラプラス変換を使って、微分方程式の初期値問題

 y ' +2 y = e-t  ただし y(0) = 3

をやってみましょう。

1.両辺をラプラス変換する
ラプラス変換( y ' ) +2ラプラス変換( y ) = ラプラス変換( e-t )

正直言って、単にラプラス変換( ) つけまくっただけです。 右辺にも忘れずにつけるのがポイントです。


2.ラプラス変換の微分法則 を使う
-y(0) + sラプラス変換( y ) + 2ラプラス変換( y ) = ラプラス変換( e-t )
微分したf 'のラプラス変換を、微分の出てこない形に書き換えます。
微分法則
ラプラス変換( y’ ) =
- y(0) + s ラプラス変換( y )

3.初期条件を使う
-3 + sラプラス変換( y ) + 2 ラプラス変換( y ) = ラプラス変換( e-t )
問題文に書いてある y(0) = 3 を代入すればいいです。 y(0) の数値が書いてない問題なら、 y(0) はそのまま定数として扱えばOKです。


4.右辺を計算する
-3 + sラプラス変換( y ) + 2ラプラス変換( y ) = 1/ (s+1)
ラプラス変換の定義どおりに、右辺に e-st かけてt=0から∞まで積分してください。今回は 1/ (s+1) になりました。
計算方法

分数は / でなく
水平に横線を
書いてください

5.左辺をラプラス変換( y ) でまとめ、 ラプラス変換( y ) = の形に持ち込む
-3 + ( s + 2 )ラプラス変換( y ) = 1/(s+1)

    ( s + 2 )ラプラス変換( y ) = 3 + 1/(s+1)

        ラプラス変換( y ) = { 3 + 1/(s+1) } / ( s+2 )

        ラプラス変換( y ) = 3/(s+2) + 1/{(s+1) (s+2)}

        ラプラス変換( y ) = 3/(s+2) + 1/(s+1) -1/(s+2)

        ラプラス変換( y ) = 2/(s+2) + 1/(s+1)




1/{(s+1) (s+2)}
=
1/(s+1) -1/(s+2)
部分分数分解


6.右辺が何のラプラス変換か考える
ここで、前に体験した思い出が必要になるわけだ
ラプラス変換( y ) = 2 ラプラス変換( e-2t ) + ラプラス変換( e-t )

7.両辺のラプラス変換( )を同時にはずす
y = 2 e-2t + e-t

思い出すのは
邪道?
検算しましょう
出来た答えを元の方程式に代入して、成り立つかどうか確かめよう。
y = 2 e-2t + e-t
を微分すると
y’ = -4 e-2t - e-t
これを元の方程式の左辺 y ' +2 y に代入してみると
y ' +2 y = ( -4 e-2t - e-t) + 2 ( 2 e-2t + e-t)
これは
     = e-t
になりました。問題の式の右辺と同じになったのでokです!

初期条件も代入して確かめましょう。
y = 2 e-2t + e-t に t=0 を代入すると
y = 2 e0 + e0 =2+1 = 3
初期条件と同じになったのでokですね!


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