初心者用ラプラス変換解説

ラプラス変換

前のページより続く例題	ラプラス変換を使って、２階微分がでてくる問題　y '' -3 y ' + 2y = 2 e^3t ただし y(0) = 0、y'(0)=0 をやってみましょう。１．両辺をラプラス変換する ( y '' ) -3( y' ) +2 ( y ) = ( 2 e^3t )	練習問題一覧へ
	２．ラプラス変換の微分法則を使う ( y' ) = -y(0) + s( y ) なので、 y'' は (y')' と考えれば ( y'' ) = -y'(0) + s( y' )だからこれを代入 -y'(0) + s( y' ) -3( y' ) +2 ( y ) = ( 2 e^3t ) すこし整理 -y'(0) + (s-3)( y' ) +2 ( y ) = ( 2 e^3t )	微分法則 ( y’ ) = - y(0) + s ( y )
	３．もう一度ラプラス変換の微分法則を使う -y'(0) + (s-3)( - y(0) + s ( y ) ) +2 ( y ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　= ( 2 e^3t ) 微分がでてこなくなるまで書き換えます。	微分法則 ( y’ ) = - y(0) + s ( y )
	４．初期条件を使う 0 + (s-3)( 0 + 2s ( y ) ) + ( y ) = ( 2 e^3t ) 問題文に書いてある y(0) = 0, y'(0)=0 を代入
	５．右辺を計算する (s-3) s ( y ) +2 ( y ) = 2/(s-3) ラプラス変換の定義どおりに、2 e^3t に e^-st かけてt=0から∞まで積分してください。今回は 2/(s-3) になりました。	計算方法分数は　/ でなく水平に横線を書いてください
	６．左辺を( y ) でまとめ、 ( y ) = の形に持ち込む (s²-3s +2) ( y ) = 2/(s-3) (s-1)(s-2)( y ) = 2/(s-3) 　　( y ) = { 2/(s-3) } ・{1/(s-1)(s-2)} 部分分数分解　　( y ) = { 2/(s-3) } ・{1/(s-2) -1/(s-1)} 分配　　( y ) = 2/{(s-3)(s-2)} - 2/{(s-3)(s-1)} また部分分数分解　　( y ) = 2{1/(s-3) - 1/(s-2)} 　　　　　　　　　　　　　 - {1/(s-3) - 1/(s-1)} 　　( y ) = 2/(s-3) - 2/(s-2) 　　　　　　　　　　　　　- 1/(s-3) + 1/(s-1) 　　( y ) = 1/(s-3) - 2/(s-2) + 1/(s-1)	1/{(s-1)(s-2)(s-3)}もあせらず 1/(s-1)(s-2) と 1/(s-3) の掛け算と考え 2個づつ部分分数分解
	７．右辺が何のラプラス変換か考える ( y ) = ( e^t ) -2 ( e^2t ) + ( e^3t ) ８．両辺の(　）を同時にはずす y = e^t -2 e^2t + e^3t	前に計算したのを思い出す
検算しましょう	出来た答えを元の方程式に代入して、成り立つかどうか確かめよう。 y = e^t -2 e^2t + e^3t を微分すると y' = e^t -4 e^2t + 3 e^3t y'' = e^t -8 e^2t + 9 e^3t これを元の方程式の左辺 y'' -3y' + 2y に代入し問題の式の右辺と同じになればOKです。初期条件も代入して確かめましょう。 y = e^t -2 e^2t + e^3t　に t=0 を代入すると y = e⁰ -2 e⁰ + e⁰ =1-2+1 = 0 また y' = e^t -4 e^2t + 3 e^3t にt=0 を代入しても y = e⁰ -4 e⁰ + 3e⁰ =1-4+3 = 0 初期条件と同じになったのでokですね！	練習問題一覧
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