- $a$ が整数でない定数のときの
$ y = x^a$ の微分
-
両辺の対数を取ると
\begin{align}
\log_e{y} &= \log_e{x^a} \\
\\
&= a \log_e{x} \\
\end{align}
両辺をxで 微分します。
\begin{align}
{d \over dx} (\log_e{y} )
&= a \log_e{x} \\
\end{align}
(左辺)
\begin{align}
{d \over dx} (\log_e{y} ) &=
{d \over dy} (\log_e{y} ) {dy \over dx}\\
&= \quad
{1 \over y} \, {dy \over dx}\\
\end{align}
${dy \over dx}$ が分からないですが、そのままにしておきます。
右辺は簡単ですね。
(右辺)
\begin{align}
{d \over dx}( a \log_e{x} )
&= a
{d \over dx}( \log_e{x} )\\
&=
{a\over x} \\
\end{align}
ここまで来たら両辺をつなぎます。
\begin{align}
(左辺) &=(右辺)\\
{1 \over y} \, {dy \over dx}
&=
{a\over x} \\ \\
\end{align}
$\displaystyle {dy \over dx}$ だけにするため、
両辺に $y$ を掛けます。
\begin{align}
{dy \over dx}
&=
y\cdot {a\over x} \\
\end{align}
$ y = x^a$ を代入し
\begin{align}
{dy \over dx}
&=
{a x^a \over x }\\
指数法則より\\
&=
a x^{a-1}
\end{align}
よって、$a$ が整数でなくても
\begin{align}
(x^a)' = a x^{a-1}
\end{align}
- 練習
-
$ ( x^{0.3})'=$
$ ( x^\sqrt{2})'=$
$ ( x^e )'=$
かいたら
答え合わせ
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