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$ y = 2^x$ の微分
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$ y = e^x$ の微分ならできるんですが
$ y = 2^x$ の微分は難しいです。
こんなとき、「両辺の対数をとる」と、
肩の上の x を下せるので簡単にできるようになります。
この技を「対数微分法」と言います。
- 対数微分法
- y = 2x の 左辺と右辺をそれぞれ
対数の真数にして
loge y =
loge 2x
と書くことを、「両辺の対数をとる」 と言います。
この言い方を覚えてください。これ以外はすべて不可です。
(英語だと
take the logarithm of と言います。)
両辺の対数を取ると
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\begin{align}
\log_e{y} &= \log_e{2^x} \\
\\
&= x \log_e{2} \\
\end{align}
ここで両辺をxで 微分します。
\begin{align}
{d \over dx} (\log_e{y} ) &=
{d \over dx}( x \log_e{2} )\\
\end{align}
左辺は $y$ の式なので、$x$で微分と言われても困ります。そこで
$y$ で微分してから、$x$で微分する形にします。
(左辺)
\begin{align}
{d \over dx} (\log_e{y} ) &=
{d \over dy} (\log_e{y} ) {dy \over dx}\\
&= \quad
{1 \over y} \, {dy \over dx}\\
\end{align}
${dy \over dx}$ が分からないですが、そのままにしておきます。
右辺は簡単ですね。
(右辺)
\begin{align}
{d \over dx}( x \log_e{2} )
&=
( x )' ( \log_e{2} ) + x ( \log_e{2} )' \\
&=
1 \cdot (\log_e{2} ) + x \cdot (定数の微分だから０) \\
&=
\log_e{2} \\
\end{align}
ここまで来たら両辺をつなぎます。
\begin{align}
(左辺) &=(右辺)\\
{1 \over y} \, {dy \over dx}
&=
\log_e{2} \\
\end{align}
ここで初心に帰ります。何を求めてるんだっけ？
$y$ の微分、すなわち
$\displaystyle {dy \over dx}$ ですよね。
左辺に見えてますよね。
左辺を
$\displaystyle {dy \over dx}$ だけにするため、
両辺に $y$ を掛けます。
\begin{align}
{dy \over dx}
&=
y \log_e{2} \\
\end{align}
$ y = 2^x$ を代入すれば出来上がり
\begin{align}
{dy \over dx}
&=
2^x \log_e{2} \\
\end{align}
普通は定数を前に書くものですが、
定数 $\log_e{2}$ を前に書いてしまうと
$ \log_e{2} 2^x $ となってしまい、
$ (\log_e{2}) 2^x $ なのか
$ \log_e{(2\cdot 2^x )}$ なのかはっきりしないので
$\log$ を最後にかきます。
このように、最初に両辺の対数をとってから両辺を微分して
${dy \over dx}$を求める方法を、対数微分法 といいます。
- 練習 $y=7^x$ を微分しなさい
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