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\( f(x) = x^2+3x \) の 導関数を求めよ
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導関数は
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\begin{align}f'(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f( x+{\Delta x} ) - f(x)}{\Delta x}\end{align}
そろそろ面倒になってきた方は \(\Delta x\) のかわりに $h$ を使って
\begin{align}f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f( x+{h} ) - f(x)}{h}\end{align}
と書いてもいいです。 \(\Delta x\) が気に入った方は \(\Delta x\) でいいですよ。
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\( f( x ) = x^2+3x \) の式中の $x$ は「記入欄」だと思って
\( f( ) = ( )^2 + 3 ( ) \) と書きます。
$x$ のあったところ全部「記入欄」に変更です。すると
\( f( x+h ) =( x + h )^2 + 3 ( x + h ) \) これを代入
\begin{align}f'(x)
&=& \lim_{h\rightarrow 0}\quad \frac{f( x+{h} )\quad - \quad f(x)}{h} \quad \quad \quad
\\
\\
&=& \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ \{( x + h )^2 + 3 ( x + h )\} - \{x^2+3x\} }{h}
\end{align}
後半の{ } が大切です。ないとマイナスが分配されません。
地道にやったとすると
\( ( x + h )^2 =( x+h)(x+h) = x^2 + 2xh +h^2 \) なので
\begin{align}f'(x)
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{x^2 + 2xh +h^2+3x + 3h - x^2-3x }{h}
\end{align}
後半、マイナスが分配されていることに気を付けましょう。
$x^2$ から$x^2$ をひいて消えて、$3x$も $3x$ 引いて消えるので
\begin{align}f'(x)
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ 2xh +h^2 + 3h }{h}
\end{align}
$h$ のついている項だけが残るので、
この$h$を外に出すように因数分解
\begin{align}f'(x)
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ h ( 2x +h + 3) }{h}
\end{align}
分子の$h$ と分母の$h$を約分し
\begin{align}f'(x)
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ 1\cdot ( 2x +h + 3) }{1}
\end{align}
つまり
\begin{align}f'(x)
= \lim_{h\rightarrow 0} ( 2x +h + 3)
\end{align}
分母に$h$がなくなったので、\(h \rightarrow 0\)を実行、
\begin{align}f'(x) = 2x + 3
\end{align}
これで完成です。
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次は\( f(x) = 1 \)の 導関数を求めよ
書けたら答え合わせ
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