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(1) \( f(x) = \sqrt{x-1}\) の $x=3$ における微分係数
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\begin{align}f'(3)
&=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f( 3+{\Delta x} ) - f(3) }{\Delta x}
\\
\\
&=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{ \sqrt{ 3+{\Delta x}-1 \ } - \sqrt{ 3 -1 } }{\Delta x}
\\
\\
&=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{ \sqrt{ 2+ {\Delta x} \ } - \sqrt{ 2 } }{\Delta x}
\end{align}
ルートのついた数どうしは
そのままでは引き算できないので
引き算できるようにするために
ルートを外さないといけません。
ルート外すためには２乗する必要があります。
前も２乗、後ろも２乗。
$( )^2 - ( )^2$ どこかでみた式ですね。
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $
\(\sqrt{ 2+ \Delta x}\) を$a$、\(\sqrt{2}\) を$b$ と思って、今こそこれを使いましょう。
上下に
\( ( \sqrt{ 2+ {\Delta x} \ } + \sqrt{ 2 }) \)をかけて
\begin{align}f'(3)
&=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0}
\frac
{ (\sqrt{ 2+ {\Delta x} \ } - \sqrt{ 2 })\cdot
( \sqrt{ 2+ {\Delta x} \ } + \sqrt{ 2 }) }
{\ \Delta x \cdot
\ ( \sqrt{ 2+ {\Delta x} \ } + \sqrt{ 2 })}
\\
\\
&=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0}
\frac
{ \sqrt{ 2+ {\Delta x} \ }^2 - \sqrt{ 2 }^2 }
{\ \Delta x \cdot
( \sqrt{ 2+ {\Delta x} \ } + \sqrt{ 2 }) \quad }\quad
\\
\\
&=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0}
\frac
{ 2+ {\Delta x} - 2 }
{\ \Delta x \cdot
( \sqrt{ 2+ {\Delta x} \ } + \sqrt{ 2 }) \quad }\quad
\\
\\
&=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0}
\frac
{ \Delta x }
{\ \Delta x \cdot
( \sqrt{ 2+ {\Delta x} \ } + \sqrt{ 2 }) \quad }\quad
\\
\\
&=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0}
\frac
{ 1 }
{\ 1 \cdot
( \sqrt{ 2+ {\Delta x} \ } + \sqrt{ 2 }) \quad }\quad
\\
\\
&=& \frac
{ 1 }
{\
( \sqrt{ 2+0 } + \sqrt{ 2 }) \quad }\quad
\\
\\
&=& \frac
{ 1 }
{\ 2 \ \sqrt{ 2 }\quad }\quad
\\
\\
\end{align}
x=3 における微分係数、すなわち増加率は、
横に$ 2 \ \sqrt{ 2 }$ 行って 縦に 1 上がる、くらいの傾き。どうでしょう
よさそうですね
では次は
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(2) \( f(x) = \sqrt{x-1}\) の $x=4$ における微分係数
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新しいページに書き始め、
できたらめくる
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