-
\( f(x) = \frac{1}{x} \) の 導関数を求めよ
-
導関数は
-
\begin{align}f'(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f( x+{\Delta x} ) - f(x)}{\Delta x}\end{align}
-
\begin{align}f( x ) = \frac{1}{x} \end{align}
ときたらこれは
\begin{align}f( ) = \frac{1}{( )}\end{align}
だと思って
\begin{align} f( x+{\Delta x} ) = \frac{1}{( x + \Delta x )}\end{align}
これを代入
\begin{align}f'(x)
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f( x+{\Delta x} ) - f(x)}{\Delta x}
\\
\\
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\quad \frac{1}{ x + \Delta x } - \frac{1}{\ x\ } \quad }{\Delta x} \quad
\end{align}
このように、分数の中に分数が入ってしまったら、
分数が2段にならないよう
分子を { と } でくるんでから後ろに下しましょう。
\begin{align}f'(x)
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\quad \{ \frac{1}{ x + \Delta x } - \frac{1}{\ x\ } \} \quad }{\Delta x}\\
\\
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \{ \frac{1}{ x + \Delta x } - \frac{1}{\ x\ } \}
\end{align}
通分して分母をそろえ
\begin{align}f'(x)
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \{
\frac{x \cdot 1}{x\cdot( x + \Delta x )} - \frac{1\cdot ( x + \Delta x )}{x\cdot( x + \Delta x )}
\}
\end{align}
分母がそろったのでまとめてかきます。分子の後半の（ ）を忘れないように
\begin{align}f'(x)
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \{
\frac{x - ( x + \Delta x )}{x( x + \Delta x )}
\}
\end{align}
マイナスを分配すると
\begin{align}f'(x)
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \{
\frac{x - x - \Delta x }{x( x + \Delta x )}
\}
\end{align}
引き算すると x が消えて
\begin{align}f'(x)
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \{
\frac{ - \Delta x }{x( x + \Delta x )}
\}
\end{align}
分子の\( \Delta x \) と前に出してある分母の\( \Delta x \)を約分し
\begin{align}f'(x)
= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{1}{\ 1 \ } \{
\frac{\ -1 \ }{x( x + \Delta x )}
\}
\end{align}
分母に単体の\( \Delta x \)がなくなったので、\(\Delta x\rightarrow 0\)を実行、
この行から\(\lim\)なしで
\begin{align}f'(x)
&=&
-\frac{\ 1 \ }{x( x + 0 )} \\
\\
&=& -\frac{1 }{x^2} \quad
\end{align}
これで完成です。
\( f(x) = \frac{1}{x} \) の $x=2$ における微分係数は
\( -\frac{1}{4}\)でした。
さっきと同じになりますね。
\( \Delta x \) を書くのがめんどくさくなってきた方は、
\( \Delta x \) のかわりに $h$ を使って書いてもいいです。
-
次は\( f(x) = x^2+3x \) の 導関数を求めよ
-
新しいページに書いてね
書けたら答え合わせ
|