-
数学的帰納法(教科書p47)
-
負の整数 $n$ についても $(x^n)' = nx^{n-1}$ が成りたつことを
数学的帰納法で示しなさい。
-
-
(1) $n= -1$ のとき
-
$\displaystyle ( x ^{-1} )' = ( {1 \over x } )' = -{1 \over x^2} = -x^{-2} = (-1) x ^{(-1)-1}$
これは $n= -1$ の時の $nx^{n-1}$
よって
$ n= -1$ のとき、$(x^n)' = nx^{n-1}$ が成りたつ。（第１段階クリア）
-
(2) ある数 n=k で$(x^{n})'= nx^{n-1}$が成りたつと仮定する。つまり
$(x^{k})'= kx^{k-1}$ と仮定する。
-
このとき、１つ少ないn=k-1では
\begin{align}
(x^{k-1})'
&= (x^k \cdot x^{-1})' （指数法則）\\
\\
&= (x^k)' \cdot x^{-1} + (x^k)(x^{-1})' （積の微分）\\
\\
&= (x^k)' \cdot x^{-1} + x^k \cdot (-x^{-2}) （講義３回目の課題でやった）\\
\\
&= k x^{k-1} \cdot x^{-1} + x^k \cdot (-x^{-2})（仮定より）\\
\\
&= k x^{k-2} \quad - x^{k-2} （指数法則）\\
\\
&= (k-1) x^{k-2} \\
\\
&= (k-1) x^{(k-1)-1} \\
\end{align}
これは $n=k-1$ のときの $ nx^{n-1} $ の形なので
$n=k-1$ のとき、$(x^n)' = nx^{n-1}$ が成りたつ。（第２段階クリア）
-
(3) (1)(2)より、全ての負の整数について$(x^n)' = nx^{n-1}$ が成りたつ。
これで、$n= 1, 2, 3, ... $の整数と、$n= -1, -2, -3, ... $の整数について
$(x^n)' = nx^{n-1}$ が使えるようになりました。
- $n=0$ のときは？
-
$n=0$ のとき $(x^n)' = (x^0)' = (1)' = 0 $ で、一方、
$nx^{n-1} = 0x^{-1} = 0$ なので、$n=0$ のときも成り立つ。
これでやっと、すべての整数について、
$(x^n)' = nx^{n-1}$ が成りたつことが証明できました。
注：整数でない数についてはまだ証明してないですよ。
$\displaystyle x^{1\over 2}$とか、$\displaystyle x^\sqrt{ 2}$とか....
次のページ
もくじ
|