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次の関数を微分しなさい。ただし $a, b$ は定数
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注：答えに $f'(x)=$ がないと間違いです！
微分前 $f(x)$ と微分後$f'(x)$ を=でつながないこと
1). $f(x) = x^4 + 2 x^3 + 7 x + 1 $
$\qquad f'(x) = 4 x^3 + 6 x^2 + 7 + 0 $
2). $\displaystyle f(x) = {1 \over x }$
$\qquad \displaystyle f'(x) = -{1 \over x^2 }$
3). $\displaystyle f(x) = \sin( x ) $
$\qquad \displaystyle f'(x) =\cos(x)$
4). $\displaystyle f(x) = \cos( x ) $
$\qquad \displaystyle f'(x) = -\sin(x)$
5). $\displaystyle f(x) = \tan( x ) $
$\qquad \displaystyle f'(x) ={1\over \cos^2(x)}$
6). $\displaystyle f(x) = e^x $
$\qquad \displaystyle f'(x) =e^x$
7). $\displaystyle f(x) = \sin( 3x ) $
$\qquad \displaystyle f'(x) = 3\cos(3x)$
8). $\displaystyle f(x) = \cos( 1000x ) $
$\qquad \displaystyle f'(x) = -1000\sin(1000x)$
9). $\displaystyle f(x) = \tan( 7x ) $
$\qquad \displaystyle f'(x) ={7\over \cos^2(7x)}$
10). $\displaystyle f(x) = e^{5x} $
$\qquad \displaystyle f'(x) = 5e^{5x}$
11). $\displaystyle f(x) = \sin( ax ) $
$\qquad \displaystyle f'(x) = a\cos(ax)$
12). $\displaystyle f(x) = \cos( ax ) + 5 $
$\qquad \displaystyle f'(x) = -a\sin(ax) +0 $
＋0 はかかなくていいです。定数を微分したら0ってことをいいたい
まず 1)ですが、単にそれぞれ微分して足してるだけですね。
足し算の微分は、微分の足し算でいいのでしょうか？
やってみましょう。
足し算の微分
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関数 $f(x)$ と関数 $g(x)$ を足し算して作った関数 \( F(x) = f(x)+g(x) \)
導関数は
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\begin{align}F'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F( x+{h } ) - F(x)}{h }\end{align}
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\( F( x ) = f(x)+g(x) \) の式中の $x$ は「記入欄」だと思って
\( F( ) = f(\quad)+g(\quad) \) と書くと
\( F( x+h ) = f(x+h)+g(x+h) \)
これを代入, 後半の{ } を忘れずに
\begin{align}F'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \{ f(x+h)+g(x+h) \} - \{ f(x)+g(x) \} }{h }
\end{align}
マイナスを分配して
\begin{align}F'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h)+g(x+h) - f(x) - g(x) }{h }
\end{align}
順序を入れ替えたら
\begin{align}F'(x)
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h)- f(x) + g(x+h) - g(x) }{h }
\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \{
\frac{ f(x+h)- f(x) }{h } + \frac{g(x+h) - g(x) }{h }
\}
\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0}
\frac{ f(x+h)- f(x) }{h } +
\lim_{h \rightarrow 0}
\frac{g(x+h) - g(x) }{h }
\\
\\
&=& f'(x) \quad + \quad g'(x) \quad \quad \quad \quad \quad
\end{align}
つまり 足し算の微分は
\begin{align}\{ f(x)+g(x)\}' = f'(x) + g'(x)
\end{align}
微分の足し算でいいってことですね
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