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次の関数を微分しなさい。ただし $a, b$ は定数
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$24)\qquad (x^2-1) e^{3x} $
\begin{align}
\{ (x^2-1) e^{3x} \}'
&=(x^2-1)' e^{3x} + (x^2-1) (e^{3x})' \\
&= \quad 2x \ e^{3x} \quad + (x^2-1)\cdot (3 e^{3x}) \\
&= \quad 2x \ e^{3x} \quad + 3(x^2-1) e^{3x} \\
&=( 2x \ + 3x^2 -3) e^{3x} \\
&=( 3x^2 + 2x -3) e^{3x}
\end{align}
$25)\qquad e^{-2x} \cos{(1000x)} $
\begin{align}
\{ e^{-2x} \cos{(1000x)}\}'
&= (e^{-2x})' \cos{(1000x)} + e^{-2x} (\cos{(1000x)})'\\
&= -2e^{-2x} \cos{(1000x)} + e^{-2x} (-1000\sin{(1000x)})\\
&= -2e^{-2x} \cos{(1000x)} -1000 \ e^{-2x}\sin{(1000x)})\\
&= \{ -2 \cos{(1000x)} -1000 \sin{(1000x)}\} e^{-2x}
\end{align}
$26)\qquad \sin{(ax)} \cos{(bx)} $
\begin{align}
\{ \sin{(ax)} \cos{(bx)} \}'
&= ( \sin{(ax)})' \cos{(bx)} + \sin{(ax)} \cos{(bx)})'\\
&= a\cos{(ax)} \cos{(bx)} + \sin{(ax)} (-b\sin{(bx)})\\
&= a\cos{(ax)} \cos{(bx)} -b \sin{(ax)} \sin{(bx)} \\
\end{align}
加法定理に似ているけれど、$a$ と $b$ が同じでないので、まとめることはできません。
$27)\qquad\displaystyle {\cos{(5x)} \over x }$
割り算の微分は必要はないです。
$\displaystyle {1 \over x }\cdot \cos{(5x)} $と書けます。
\begin{align}
\{ {1 \over x } \cdot \cos{(5x)} \}'
&= ({1 \over x })' \cos{(5x)} + {1 \over x } \cdot( \cos{(5x)} )'\\
&= -{1 \over x^2 } \cos{(5x)} + {1 \over x } \cdot( -5\sin{(5x)} )\\
&= -{1 \over x^2 } \cos{(5x)} - {5 \over x } \sin{(5x)}
\end{align}
$28)\qquad\displaystyle {\sin{(5x)} \over e^{2x} }$
この割り算も掛け算に直せます。
$\qquad \displaystyle {1 \over e^{2x} }\cdot \sin{(5x)} = e^{-2x} \sin{(5x)}$
\begin{align}
\{ { \sin{(5x)} \over e^{2x} } \}'
&= \{ e^{-2x} \sin{(5x)} \}' \\
&= ( e^{-2x} )' \sin{(5x)} + e^{-2x} ( \sin{(5x)} )'\\
&= -2 e^{-2x} \sin{(5x)} + e^{-2x} \cdot( 5 \cos{(5x)} ) \\
&= e^{-2x} \{ -2 \sin{(5x)} + 5 \cos{(5x)} \} \\
\end{align}
赤ペンで添削し撮影して提出
掛け算の微分ができるだけで、解けるようになる問題がすごく増えます。
以下は例です。やってみよう
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次の関数を微分しなさい。ただし $a, b$ は定数
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$29)\qquad (x^3 - x +1 )^2 $
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$30)\qquad e^{-x} \sin{(2x)}\cos{(3x)} $
かいたら
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