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足し算の微分は微分の足し算でいい
\begin{align}\{ f(x)+g(x)\}' = f'(x) + g'(x) \end{align}
定数倍の微分は、微分の定数倍でいい
\begin{align}\{ a\ f(x) \}' = a \ f'(x)\end{align}
というのを覚えると、
掛け算の微分$\{ f(x)\cdot g(x)\}'$も、
微分の掛け算 $f'(x) \cdot g'(x)$ でいいんじゃないかと早とちりする人がいます。
でもちょっと待って。
$\{ x^2 \cdot x^2 \}$の微分は、$\{ x^2 \}' \cdot \{ x^2 \}' $ ですか？
$\{ x^2 \cdot x^2 \}' = \{ x^4 \}' = 4 x^3$ ですよね。
一方、
$\{ x^2 \}' =2x$ なので、
$\{ x^2 \}' \cdot \{ x^2 \}' = 2x\cdot 2x = 4x^2$ です。
同じになりません。
掛け算の微分は、微分の掛け算ではない
ではどうなるのか、やってみましょう。
掛け算の微分
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関数 $f(x)$ と関数 $g(x)$ を掛け算して作った関数 \( F(x) = f(x)\cdot g(x) \)
導関数は
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\begin{align}F'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F( x+{h } ) - F(x)}{h }\end{align}
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\( F( x ) = f(x)\cdot g(x) \) の式中の $x$ は「記入欄」だと思って
\( F( ) = f(\quad)\cdot g(\quad) \) と書くと
\( F( x+h ) = f(x+h)\cdot g(x+h) \)
これを代入
\begin{align}
\{ f(x)\cdot g(x)\}'
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h)\cdot g(x+h) - f(x)\cdot g(x) }{h }
\end{align}
ここで、知ってる形 $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\frac{ f(x+h)- f(x) }{h}$ を使いたいんですが、
今やってる式にでてきてるのは $f(x+h)\cdot g(x+h) $ なので、
「知ってる形」に $ g(x+h) $が掛け算されてると考えるには
$-f(x)\cdot g(x+h) $が必要です。でもそんなのないよね...
そこでどうするかというと
ないものは勝手に作る！そして償う！
分子の２項めに、欲しかった$-f(x)\cdot g(x+h) $を勝手に書いて、
\begin{align}
\{ f(x)\cdot g(x)\}'
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h)\cdot g(x+h) - f(x)\cdot g(x+h)+ f(x)\cdot g(x+h) - f(x)\cdot g(x)}{h}
\end{align}
その直後に$+f(x)\cdot g(x+h) $ して元に戻したのです。
こういう変形は、与えられた式をただ何となくいじっていてもできません。
やろうと思ってわざとやらないできない仕掛けです。
でもアイディアを理解できたら簡単です。
分子の前半2つを共通の $g(x+h) $でくくり、
分子の後半2つを共通の $f(x) $でくくれば、
\begin{align}
\{ f(x)\cdot g(x)\}'
&=& \lim_{h \rightarrow 0}
\frac{ \{ f(x+h)- f(x) \} \ g(x+h) + f(x) \{g(x+h) - g(x)\} }{h }
\\
\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \{
\frac{ f(x+h)- f(x) }{h } g(x+h) + f(x) \frac{g(x+h) - g(x) }{h }
\}
\\
\\
&=& f'(x) \cdot g(x+0)\quad + \ f(x) \cdot g'(x) \qquad \quad \quad
\end{align}
つまり 掛け算の微分は 片方微分・片方そのまま＋片方そのまま・片方微分
\begin{align}
\{ f(x)\cdot g(x)\}'= f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
\end{align}
になるってことです。5行で導出できました。
- 使用例
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\begin{align}
( x^2\cdot \cos{(3x)} )'
&=
( x^2 )' \cdot \cos{(3x)} + x^2 \cdot ( \cos{(3x)} )' \\
\\
&=
2x \cdot \cos{(3x)} + x^2 \cdot ( -3\sin{(3x)} ) \\
\\
&=
2x \cdot \cos{(3x)} -3 x^2 \cdot \sin{(3x)}
\end{align}
注：後半（ ）必要 $ x^2 \cdot -3\sin{(3x)} $と書いてはだめ
$\cdot -$とかくと減点
- 次の関数を微分しなさい
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$24)\qquad (x^2-1) e^{3x} $
$25)\qquad e^{-2x} \cos{(1000x)} $
$26)\qquad \sin{(ax)} \cos{(bx)} $
$27)\qquad\displaystyle {\cos{(5x)} \over x }$
$28)\qquad\displaystyle {\sin{(5x)} \over e^{2x} }$
書いたら時刻を控えて
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