前の問題
例題 |
ラプラス変換を使って、２階微分がでてくる問題
y '' + 2 y ' + y = sin( t ) ただし
y(0) = 1、y'(0)=0
をやってみましょう。
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１．両辺をラプラス変換する
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 ( y '' ) + 2 ( y' ) + ( y ) = ( sin(t) )
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２．ラプラス変換の微分法則 を使う
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( y' ) = -y(0) + s( y ) なので、
y'' は (y')' と考えれば
( y'' ) = -y'(0) + s( y' )だから
これを代入
-y'(0) + s( y' )
+ 2 ( y' )
+ ( y ) = ( sin(t) )
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３．もう一度ラプラス変換の微分法則 を使う
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-y'(0) + s{ -y(0) + s(y) }
+ 2 { -y(0) + s(y) }
+ (y) = ( sin(t) )
微分がでてこなくなるまで書き換えます。
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４．初期条件を使う
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問題文に書いてある y(0) = 1, y'(0)=0 を代入
0 + s { -1 + s ( y )}
+ 2 { -1 + s ( y )}
+ ( y ) = ( sin(t) )
整理整頓
( s2 + 2s + 1 )( y ) -s -2 =
( sin(t) )
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５．右辺のラプラス変換を計算する
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( s2 + 2s + 1 )( y ) - s - 2 =
$\displaystyle {1 \over s^2+1}$
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６．( y ) = の形に持ち込む
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( s2 + 2s + 1 )( y ) =
$\displaystyle s + 2 + {1 \over s^2+1}$
$\displaystyle \mathcal{L}(y) = {s + 2 \over (s+1)^2} + {1 \over (s+1)^2 (s^2+1)}$
このままでは何のラプラス変換かわかりにくいので、
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７．
何のラプラス変換か考えやすいように変形
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1項目の s+2 をs+1 と 1 に分けて
$\displaystyle \mathcal{L}(y) = {s + 1 \over (s+1)^2} +{1 \over (s+1)^2} + {1 \over (s+1)^2 (s^2+1)}$
1項めを約分
$\displaystyle \mathcal{L}(y) ={ 1 \over (s+1)} +{1 \over (s+1)^2} + {1 \over (s+1)^2 (s^2+1)}$
何のラプラス変換か思い出し
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
\mathcal{L}( t e^{-t}) + {1 \over (s+1)^2 (s^2+1)}$
３項目
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
\mathcal{L}( t e^{-t}) + {1 \over (s+1)}\cdot {1\over (s+1)}\cdot {1\over (s^2+1)}$
3項めの分母が s と s2 では部分分数分解しにくいので
s2 で揃えるように細工
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
\mathcal{L}( t e^{-t}) + {1 \over (s+1)}\cdot {(s-1)\over (s+1)(s-1)}\cdot {1\over (s^2+1)}$
分子の(s-1)はちょっとよけておく
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
\mathcal{L}( t e^{-t}) + {(s-1) \over (s+1)}\cdot {1 \over (s^2-1)}\cdot {1\over (s^2+1)}$
分母にs2が入っているもの同士だと
部分分数分解しやすいよ
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
\mathcal{L}( t e^{-t}) +
{(s-1) \over (s+1)} \cdot {1\over 2}
\{
{1 \over (s^2-1)} -
{1 \over (s^2+1)}
\}$
分配
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
\mathcal{L}( t e^{-t}) +
{1\over 2}
\{
{(s-1) \over (s+1)(s^2-1)} -
{(s-1) \over (s+1)(s^2+1)}
\}$
3項目約分
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
\mathcal{L}( t e^{-t}) +
{1\over 2}
\{
{1 \over (s+1)^2} -
{(s-1) \over (s+1)(s^2+1)}
\}$
3項目
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
\mathcal{L}( t e^{-t}) +
{1\over 2} \mathcal{L}( t e^{-t}) -
{1\over 2}
{(s-1) \over (s+1)(s^2+1)}
$
2項目3項目は同じだからまとめて、４項目の分母が$s^2$で始まるるように上下に(s-1)
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
{3\over 2} \mathcal{L}( t e^{-t}) -
{1\over 2}
{(s-1)^2 \over (s-1)(s+1)(s^2+1)}
$
分子は前によけておいて
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
{3\over 2} \mathcal{L}( t e^{-t}) -
{(s-1)^2 \over 2}
{1 \over (s^2-1)(s^2+1)}
$
分母の頭がs2に揃ったので部分分数分解
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
{3\over 2} \mathcal{L}( t e^{-t}) -
{(s-1)^2 \over 2}
{1 \over 2}
\{
{1 \over (s^2-1)} - {1 \over (s^2+1)}
\}
$
分配
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
{3\over 2} \mathcal{L}( t e^{-t}) -
{1 \over 4}
\{
{(s-1)^2 \over (s^2-1)} - {(s-1)^2 \over (s^2+1)}
\}
$
約分と展開
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
{3\over 2} \mathcal{L}( t e^{-t}) -
{1 \over 4}
\{
{(s-1) \over (s+1)} - {s^2 -2s +1 \over (s^2+1)}
\}
$
分子の
(s-1) は (s+1)-2、s2-2s+1 は (s2+1)-2s と考えると
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
{3\over 2} \mathcal{L}( t e^{-t}) -
{1 \over 4}
\{
{(s+1)-2 \over (s+1)} - {(s^2 +1) -2s \over (s^2+1)}
\}
$
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
{3\over 2} \mathcal{L}( t e^{-t}) -
{1 \over 4}
\{
1 -{2 \over (s+1)} - 1 + {2s \over (s^2+1)}
\}
$
整理整頓
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
{3\over 2} \mathcal{L}( t e^{-t}) +
{1 \over 2}
\{
{1 \over (s+1)} - {s \over (s^2+1)}
\}
$
何のラプラス変換か考える
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
\mathcal{L}(e^{-t}) +
{3\over 2} \mathcal{L}( t e^{-t}) +
{1 \over 2}
\{
\mathcal{L}(e^{-t}) - \mathcal{L}(\cos(t) )
\}
$
$\displaystyle \mathcal{L}(y) =
{3 \over 2} \mathcal{L}(e^{-t})
+ {3 \over 2} \mathcal{L}( t e^{-t})
- {1 \over 2} \mathcal{L}(\cos(t) )
$
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８．両辺の( ）を同時にはずす
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$\displaystyle y =
{3 \over 2} e^{-t}
+ {3 \over 2} t e^{-t}
- {1 \over 2} \cos(t)
$
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