東北工業大学 情報通信工学科 中川研究室


ラプラス変換



ラプラス変換
東北工業大学 情報通信工学科
中川朋子




 理工系の大学や高専で出てくる「ラプラス変換」。
教科書を見るといきなり
「f(t)のラプラス変換 ラプラス変換記号( f ) は ∫o e-st f(t) dt 」
とか書いてあるけど、
何でこんなことしなきゃいけないの
とか
「e-stsって何
とか気になって、前に進めませんね。
 必修の科目にラプラス変換が出てくるのは、 微分方程式を解く時に使うと、 簡単になるからなんです。 電気回路とか 機械のレスポンスとかの問題を解く時は必殺です。

 基本思想を以下に説明するので、お役立てください。

ラプラス変換表はこちら

微分方程式へ急ぐ

電気回路の問題へ急ぐ

逆ラプラス変換で困ったら

微分方程式の
初期値問題

 y ' +2 y = e-t を満たすような y(t) はどんな関数か
というような問題を微分方程式といいます。 これに
 ただし y(0) = 3
のような条件がついた問題を、初期値問題といいます。 t=0 のときの yの条件、つまり初期条件がついた問題です。

 これくらいの問題なら、ラプラス変換を使わなくても実は解けますね。 だから ラプラス変換なんか出来なくても 俺は困ってないぞ というあなたの主張はもっともです。

ラプラス変換を使わない
解き方




 ではこんなのどうでしょう。
 y '' + 2 y ' + y = sin( t ) ただし y(0) = 1y'(0)=0
2階微分を入れてみました。 がんばれば、ラプラス変換を使わなくても解けます。 ちょっとめんどくさいですね。eλx の形を仮定するんでしょうね。 でも重解になって嫌ですね。右辺も0じゃないので特殊解も求めないと、、、、。

 ラプラス変換を使うとかなり楽になるんです。

ラプラス変換を使わない
解き方



続く

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