部分分数分解 (初心者用ラプラス変換解説）

部分分数分解

良くある質問１

「因数２つならできるんですけど３つだからできないんです！」という方。

できるとこからやったらどうでしょう。

\begin{align} {1 \over ( s+1 )( s+2 )( s+3)} \end{align}	=	\begin{align} {1 \over ( s+1 )} \end{align}	・	\begin{align} {1 \over ( s+2 )( s+3)} \end{align}
	=	\begin{align} {1 \over ( s+1 )} \end{align}	\begin{align} \{ \end{align}	\begin{align} {1 \over ( s+2 )}-{1\over ( s+3)} \end{align}	\begin{align} \} \end{align}

よけておいた(s+1)分配
	=	\begin{align} {1 \over ( s+1 )( s+2)} \end{align}	$ - $	\begin{align} {1 \over ( s+1 )( s+3)} \end{align}

また分解

\begin{align} {1 \over ( s+1 )}-{1\over ( s+2 )} - {1 \over 2} \{ {1 \over ( s+1 )}-{1\over ( s+3 )} \} \end{align}

同じものはまとめる

\begin{align} {1 \over 2} {1 \over ( s+1 )} -{1\over ( s+2 )} +{1 \over 2} {1\over ( s+3 )} \end{align}

良くある質問２

( s+1 )( s²+ 1 )は分解できないんでしょうか！という方。

分母を s² で揃えるように細工
(s+1)(s-1)で ( s²-1 ) を作ります

\begin{align} {1 \over ( s+1 )( s^2 +1)} \end{align}	=	\begin{align} {1 \over ( s+1 )} \end{align}	・	\begin{align} {1 \over( s^2 +1)} \end{align}
	=	\begin{align} { {\color{red}{(s-1)} } \over ( s+1 ){\color{red}{(s-1)}}} \end{align}	・	\begin{align} {1 \over( s^2 +1)} \end{align}
	=	\begin{align} {(s-1) \over ( s^2 -1)} \end{align}	・	\begin{align} {1 \over( s^2 +1)} \end{align}

分子の(s-1)はちょっとよけておく

\begin{align} (s-1) \end{align}

・

\begin{align} {1 \over( s^2 -1)} \cdot {1 \over( s^2 +1)} \end{align}

分母の最初のところがs²で揃っていると部分分数分解できる

\begin{align} (s-1) \end{align}

・

\begin{align} {1 \over 2} \{ {1 \over ( s^2 -1 )}-{1\over ( s^2 +1 )} \} \end{align}

よけておいた(s-1)を分配

=	\begin{align} {1 \over 2} \{ {(s-1) \over ( s^2 -1 )}-{(s-1)\over ( s^2 +1 )} \} \end{align}

( s²- 1 ) = (s-1)(s+1) だから約分　

\begin{align} ={1 \over 2} \{ { 1 \over ( s +1 )}-{s-1\over ( s^2 +1 )} \} \end{align}

これで出来上がりですが
さらに「何かのラプラス変換」の形にしたいなら、 (s-1)を s と 1 にわけて

	\begin{align} ={1 \over 2} \end{align}	\begin{align} \{ { 1 \over ( s +1 )} - {s \over ( s^2 +1 )} + {1\over ( s^2 +1 )} \} \end{align}
	\begin{align} ={1 \over 2} \end{align}	{ ( e^-t ) $-$ ( cos(t) ) $+$ ( sin(t) ) }

自分は $ {1 \over s^2+1} = { 1 \over ( s - i )(s+i)} $ を使ったんですけど、という方。
それもＯＫです。自分の得意なやり方でどうぞ。

ラプラス変換で微分方程式を解く練習問題

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