東北工業大学 情報通信工学科 中川研究室


部分分数分解

部分分数分解

良くある質問1
「因数2つならできるんですけど3つだからできないんです!」という方。

できるとこからやったらどうでしょう。
1
---------------
( s+1 )( s+2 )( s+3)
=
1
-----
( s+1 )
1
---------
( s+2 )( s+3 )

=
1
----
( s+1 )
{
1
----
( s+2 )
  -  
1
----
( s+3 )
}
さっきよけておいた(s+1)分配
                          =
1
-------
( s+1 )( s+2 )
  -  
1
-------
( s+1 )( s+3 )
また分解
                          = {
1
----
( s+1 )
  -  
1
----
( s+2 )
}  -  
1
-
2
{
1
----
( s+1 )
  -  
1
----
( s+3 )
}
同じものはまとめる
                          =
1
-
2
1
----
( s+1 )
  -  
1
----
( s+2 )
  +  
1
-
2
1
----
( s+3 )

良くある質問2
( s+1 )( s2+ 1 )は分解できないんでしょうか!という方。

分母が s と s2 では部分分数分解しにくいので s2 で揃えるように細工
(s+1)(s-1)で ( s2-1 ) を作ります
1
--------
( s+1 )( s2+ 1 )
=
(s-1)
-----
(s+1)(s-1)
1
------
( s2+ 1 )

分子の(s-1)はちょっとよけておく
            = (s-1)
1
-----
( s2-1 )
1
------
( s2+ 1 )

分母にs2が入っているもの同士だと部分分数分解できる
            = ( s-1 )
1
-
2
{
1
-----
( s2- 1 )
 - 
1
-----
( s2+ 1 )
}

(s-1)分配
                        =
1
-
2
{
( s-1 )
-----
( s2- 1 )
 - 
( s-1 )
-----
( s2+ 1 )
}

( s2- 1 ) = (s-1)(s+1) だから約分 
                        =
1
-
2
{
1
----
( s+1 )
 - 
( s-1 )
-----
( s2+ 1 )
}

これで出来上がりです。
これをさらに「何かのラプラス変換」の形にしたいならば、 (s-1)を s と 1 にわけて
                        =
1
-
2
{
1
----
( s+1 )
 - 
s
-----
( s2+ 1 )
 + 
1
-----
( s2+ 1 )
}

                        =
1
-
2
{ ラプラス変換( e-t )   -   ラプラス変換( cos(t) )   +   ラプラス変換( sin(t) ) }


自分は 1/( s2+ 1 ) = 1/(s-i)(s+i) を使ったんですけど、という方。
それもOKです。自分の得意なやり方でどうぞ。

ラプラス変換で微分方程式を解く練習問題

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