(前のページより)
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そもそも、どうして
指数関数の
eix を、
三角関数の
cos(x) と sin(x) の組み合わせ
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で書こうと思ったのでしょう。
見た目もぜんぜん違うのに、、、
ヒントは微分にあります。
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sin( x )
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y = sin(x) を微分すると、
y ' = cos(x) になりますが、これをもう一度微分すると
y ' ' = -sin(x)
２回微分したら、最初の y と同じ sin(x) になって、マイナスがつきました。 y ' ' = - y
さらに
y ' ' ' = -cos(x)
y ' ' ' ' = sin(x) = y
4回微分したら、最初と同じ sin(x) に戻りました。
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cos( x )
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y = cos(x) も微分してみると、
y ' -sin(x)
y ' ' = -cos(x) = - y
２回微分したら、最初と同じ cos(x) になって、マイナスがつきました。
y ' ' ' = sin(x)
y ' ' ' ' = cos(x) = y
4回微分したら、最初と同じ cos(x) に戻りました。
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eax
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指数関数
eax にも、似たような性質があります。
ここで a は定数です。
y = eax を微分すると、
y ' = (eax) ' = a eax
これをもう一度微分すると、
y ' ' = ( a eax) ' = a2 eax
２回微分したら、同じ
eax
になって、 a2 がつきました。
ここで a2 が -1 なら、
sin(x) や cos(x) と同じように
「２回微分したら、前と同じ になって、マイナスがつく」
仲間になれるのでは？
a2 = -1 てことは、つまり a = i または a = -i
ですよね。
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(ex ) ' = ex
(eax ) ' = a eax
は有名だよね
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だけど
意味わかんない |
そうはいっても、a に、こともあろうに 虚数 i なんかを代入して
eix
と書いちゃっていいのでしょうか？？
eax なら、e を ax 回掛ける、っていう意味だろうけど、
「虚数回」 掛ける、って意味わからんですね。
さらに、
肩の上が虚数 ix のとき、
(eix ) ' をどうやって出したらいいかわからないですよね。
(eax ) ' = a eax を出すときに使った
(eah - 1) / ah → 1 ( h → 0 のとき) が、
a が虚数では使えないからです....
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( i2 = -1 )
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ここからは
仮定です |
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もしも
( eax ) ' = a eax と同じように
( eix ) ' = i eix と書けるとしたら
eix も cos(x) と sin(x) の仲間になれるんじゃないか?
eix を cos(x) と sin(x) の組み合わせで
eix = A cos(x) + B sin(x) の形に書けるんじゃないか?
と
考えたんですね。
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( i2 = -1 )
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続く
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