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\begin{align}
\int_{x=aから}^{x=bまで} (微分後) \ dx \quad
= \quad
\Bigl[ 微分前 \Bigr]_{x=aから}^{x=bまで}
\end{align}
- 答え合わせ
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\begin{align}
\int_{x=1から}^{x=2まで} x^n
\ dx \quad &= \quad
\Bigl[(\qquad ) \, x^{n+1} \, \Bigr]_{x=1}^{x=2} \\
& \qquad すきまを空け、微分してx^n なら微分する前は x^{n+1} だな、と先に書く\\
&= \quad
\Bigl[( \, {1 \over n+1} \, ) \, x^{n+1}
\, \Bigr]_{\, x=1}^{\, x=2} \\
& \qquad x^{n+1} を微分したら前に n+1 がでてくるからそれを消すため (\quad ) の中に {1 \over n+1} を書く \\
&= \quad \ {1 \over n+1} ( 2^{n+1} - 1^{n+1} ) \quad 代入\\
&= \quad \ {1 \over n+1} ( 2^{n+1} - 1 ) \quad 計算\\
&= \quad \ {2^{n+1} - 1 \over n+1}
\end{align}
\begin{align}
\int_{x=0から}^{x=1まで} 3e^{3x}
\ dx \quad &= \quad
\Bigl[ e^{3x}
\quad
\Bigr]_{x=0}^{x=1} \\
&= \quad \ e^3 - e^0 \\
&= \quad \ e^3 - 1 \\
\end{align}
\begin{align}
\int_{x=0から}^{x=1まで} e^{3x}
\ dx \quad &= \quad
\Bigl[ {1 \over 3} e^{3x}
\quad
\Bigr]_{x=0}^{x=1}
\quad 上の問題の {1\over 3} だから\\
&= \quad \ {1 \over 3} ( e^3 - e^0 )\\
&= \quad \ {1 \over 3} (e^3 - 1 )\\
\end{align}
フォントが小さいですが範囲は $x=0$ から $\displaystyle x={\pi \over 6}$ までです
\begin{align}
\int_{x=0から}^{x={\pi \over 6}まで} 2 \cos{2x}
\ dx \quad &= \quad
\Bigl[ \sin{2x}
\quad
\Bigr]_{x=0}^{x={\pi \over 6}} \\
&= \quad \, \{ \sin{( 2 \cdot{\pi \over 6} )} - \sin{0} \}\\
&= \quad \, \{ \sin{ \pi \over 3} - 0 \}\\
&= \quad \, \sin{ 60^\circ} \\
&= \quad \, { \sqrt{3} \over 2} \\
\end{align}
\begin{align}
\int_{x=0から}^{x={\pi \over 6}まで} \cos{2x}
\ dx \quad &= \quad
\Bigl[ {1 \over 2} \sin{2x}
\quad
\Bigr]_{x=0}^{x={\pi \over 6}}
\quad 上の問題の {1\over 2} だから\\
&= \quad \ {1 \over 2} \{ \sin{( 2 \cdot{\pi \over 6} )} - \sin{0} \}\\
&= \quad \ {1 \over 2} \{ \sin{ \pi \over 3} - 0 \}\\
&= \quad \ {1 \over 2} { \sqrt{3} \over 2} \\
&= \quad \ { \sqrt{3}\over 4} \\
\end{align}
\begin{align}
\int_{x=0から}^{x={\pi \over 6}まで} \sin{2x} \ dx \quad
&= \quad
\Bigl[\, -{1 \over 2} \cos{2x} \quad
\Bigr]_{x=0}^{x={\pi \over 6}} \\
&= \quad \, - {1 \over 2} \{ \cos{( 2 \cdot{\pi \over 6} )} - \cos{0} \}\\
&= \quad \, -{1 \over 2} \{ \cos{ \pi \over 3} - 1 \}\\
&= \quad \, -{1 \over 2} \{ \cos{ 60^\circ} - 1 \}\\
&= \quad \, -{1 \over 2} \{ \quad { 1 \over 2} -1 \quad \} \\
&= \quad \, -{1 \over 2} \{ \quad { 1 \over 2} - {2\over 2} \, \} \\
&= \quad \, -{1 \over 2} \{ \, -{ 1 \over 2} \} \\
&= \quad \, { 1 \over 4} \\
\end{align}
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次の定積分を求めなさい
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フォントが小さいですが範囲は $x=0$ から $\displaystyle x={\pi \over 3}$ までです
$\displaystyle
\int_{x=0から}^{x={\pi \over 3 }まで} {1 \over \cos^2{ x} } \, dx$
フォントが小さいですが範囲は $x=0$ から $\displaystyle x={\pi \over 8}$ までです
$\displaystyle\int_{x=0から}^{x={\pi \over 8 }まで} {1 \over \cos^2{2 x} } \, dx $
間違っても、つまづいても、自分でやったものは尊い。そして失敗は経験になる
自分でやらずに見物だけの人は結局何にもならない
自力でかけるところまでかいたら
答え合わせ
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