- 加法定理 本日のまとめ
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以下の空欄を埋めて完成させてください。
注：間を離すところ、くっつけて書くところ、の区別に注意して書いてください
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加法定理の導出
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ベクトル
$
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right)$を 角度 $\theta$ 回転させたベクトルの要素を表す式
$$
\left\{
\begin{array}{cc}
x_1 = & x \cos\theta - y \sin\theta \\
y_1 = & x \sin\theta + y \cos\theta
\end{array}
\right . は、行列を使うと
$$
$$ \left(
\begin{array}{c}
x_1\\
y_1
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right)
と書ける。
$$
よって、ベクトル
$
\left(
\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}
\right)$
を 角度 $\alpha$ だけ回転させた
ベクトル
$
\left(
\begin{array}{c}
x_1\\
y_1
\end{array}
\right)$は、
$$ \left(
\begin{array}{c}
x_1\\
y_1
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
\\
\end{array}
\right)
と書ける。
$$
それをさらに角度 $\beta$ だけ回転させた
ベクトルは、
$$ \left(
\begin{array}{c}
x_2\\
y_2
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\\
\end{array}
\right)
と書け、
$$
行列とベクトルの掛け算を実行すれば、
$$
\left(
\begin{array}{c}
x_2\\
y_2
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\end{array}
\right)
となる。
$$
一方、角度 $\alpha$ 回してから角度 $\beta$ 回すのは、
一度に角度 ($\alpha +\beta$) 回すのと同じことなので、
ベクトル
$
\left(
\begin{array}{c}
x_2\\
y_2
\end{array}
\right)
$
は、
$ \left(
\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}
\right)
$
と
角度 ($\alpha +\beta$) を使って
$$ \left(
\begin{array}{c}
x_2\\
y_2
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\\
\end{array}
\right)
$$
と書くこともできる。行列とベクトルの掛け算を実行すれば、
$$
\left(
\begin{array}{c}
x_2\\
y_2
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\end{array}
\right)
となる。
$$
ベクトル
$
\left(
\begin{array}{c}
x_2\\
y_2
\end{array}
\right)$ の２つの式は等しいはずなので、
$\cos( \alpha +\beta )=$
$\sin( \alpha +\beta )=$
となることがわかる。
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