部分積分

たたみこみ,ラプラス変換のための部分積分

部分積分忘れた？	部分積分は、「掛け算の微分を積分しなおすと、掛け算の微分が簡単な形に直せる」という技です。　たとえばこういう積分 ∫_{τ = 0}^{τ = t} ( t - τ ) e^τ dτ なんだか嫌ですよね。どこが嫌かというと、積分のなかの、 ( t - τ ) と e^τ が掛け算になってるとこがいやですね。 ( t - τ ) だけとか、e^τ だけなら、積分してもいいんだけど。
部分積分	こんなとき使うのが部分積分。掛け算の積分を攻めるには、まず、掛け算の微分から行きます。 A という関数と B という関数の掛け算 A B を微分すると　　( A B )' = A' B + A B' になります。これは出来る、知ってるっていう方が多いようです。単にこの両辺を積分すると ∫　( A B )' dτ　 = 　∫ A' B dτ　 + 　∫ A B' dτ になりますね。∫とdτ　をつけただけです。ここで、左辺は、微分して積分してるから元に戻っちゃいますよね。よって　　[ A B ] 　 = 　∫ A' B dτ　 + 　∫ A B' dτ ここで右辺を見ると、 A' と B とか、A と B'とか、掛け算の微分になってます。 A と B の組み合わせによっては、 A B' の積分を計算するより、 A' B の積分を計算するほうが簡単なこともありますよね。こんなとき、この式を使えば　∫ A B' dτ　を　∫ A' B dτ　で書き換えできますよね。　　∫ A B' dτ 　 =　　[ A B ] 　 - 　∫ A' B dτ 定積分のときも同じです。　　∫₀^t A B' dτ 　 =　　[ A B ]₀^t - 　∫₀^t A' B dτ 　この書き換え技を部分積分と呼んでおります。高校２年で習います。	∫ A B' dτ　より ∫ A' B dτ の方が簡単になるように使うのがコツです。逆に使うとかえって難しくなってしまい意味が無い

使ってみよう

さっきの

f * g　=　 ∫_{τ = 0}^{τ = t} ( t - τ ) e^τ dτ

の e^τ のとこは、e^τ の微分（e^τ）’ と考えてもいいので

　　　　=　 ∫_{τ = 0}^{τ = t} ( t - τ ) （e^τ）’ dτ

部分積分を使って書き換えると

　　　　=　[　( t - τ ) e^τ 　]_{τ = 0}^{τ = t}　 - 　∫_{τ = 0}^{τ = t}　( t - τ ) ’　e^τ　dτ

積分の中では、変数は τ だけで、 t は定数扱いなので

　　　　=　[　( t - τ ) e^τ 　]_{τ = 0}^{τ = t}　 - 　∫_{τ = 0}^{τ = t}　( 0 - 1 ) 　e^τ　dτ

後半が簡単になってラッキーですね

　　　　=　[　( t - τ ) e^τ 　]_{τ = 0}^{τ = t}　 + 　[　e^τ　]_{τ = 0}^{τ = t}　

あとはτ　に代入して引けば

　　　　=　( t - t ) e^t　- ( t - 0 ) e⁰　 + 　　e^t -　e⁰

　　　　=　　　0　　　-　　　t　　　+ 　　e^t　　-　1

◆中川研HOME