-
(1)
$\displaystyle
\int_{x=0}^{x=1} {2x+7 \over x^2+7x+10} \, dx
$
-
分母を $u$ とおいたとき、その微分 $u'$ が掛け算された形
になっているのでうまくいきますね。
(1) $u = x^2+7x+10 $とおくと
(2)
(3)
$\displaystyle {du\over dx } = 2x+7$ より
-
$du = (2x+7) dx$ ここに（ ）がないと誤り、 2x＋7 dx は不可
$dx = {1\over (2x+7)} du$
\begin{align}
\int_{x=0}^{x=1} {2x+7 \over x^2+7x+10} \, dx
&=
\int_{u=10}^{u=18} {2x+7 \over u } {1\over (2x+7)} \, du\\
\\
&=
\int_{u=10}^{u=18} {1 \over u } \, du \quad （uだけになって嬉しい）\\
\\
&=
\Bigl[ \log_e|u| \Bigr]_{u=10}^{u=18} \\
\\
&=
\log_e|18| -\log_e|10|\\
\\
&=
\log_e{18\over 10}\\
\\
&=
\log_e{9\over 5}\\
\end{align}
-
(2)
$\displaystyle
\int_{x=0}^{x=1} {1 \over x^2+7x+10} \, dx
$
-
前の問題と似ているからと言っておなじようにやろうとすると
(1) $u = x^2+7x+10 $とおいて
(2)
(3)
$\displaystyle {du\over dx } = 2x+7$ より
-
$du = (2x+7) dx$
$dx = {1\over (2x+7)} du$
\begin{align}
\int_{x=0}^{x=1} {1 \over x^2+7x+10} \, dx
&=
\int_{u=10}^{u=18} {1 \over u } {1\over (2x+7)} \, du\\
\end{align}
分子に $ 2x+7 $ がないので、分母の $ (2x+7) $ が消えず、
$u$ だけの式になりません。
$u$ と $x$ が混じっていたのでは積分できないので失敗
ではどうすればよいかというと、
この分母よく見てください。
足して7、かけて10...因数分解できることに気づいてください。
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