東北工業大学 情報通信工学科 中川研究室


テイラー展開 例題

前のページより続く ではいよいよ実例に行きましょうか。
f(x) = (x+9)-1 を x=1 の周りでテイラー展開しなさい

重要なことは、 x が 1 に近いということです。
ですから f(x) の値は大体 f(1) = (1+9)-1 = 10-1で、
右辺最初の項は1/10 になるはずと予想できます。

その後ろに補正項が付くはずですが、
x が 1 に近いのですから、補正項は、 xと1とのずれを示す (x-1) の多項式になっているはずですよね。

問題集へ急ぐ

1組の期末試験の問題
完成形はこの形 完成形を先に書いておきましょう
f(x) 〜 c0 + c1(x-1) + c2(x-1)2 + c3(x-1)3 + c4(x-1)4
+ c5(x-1)5 + ... + cn(x-1)n + ... 
cnを求める
ここに出てくる c0 , c1 , c2 , c3 , ...の係数を求めましょう。
いま 1 の周りの展開ですから
c0 = f(1)   ...f(0)でないことに注意
f(x) =(x+9)-1より
f(1) =(1+9)-1よって c0 = 10-1
c1=
f '(1)
1 !
  . . . f'(0)でないことに注意
f(x) =(x+9)-1より
f'(x) =(-1)(x+9)-2なので
f'(1) =(-1)(1+9)-2よって c1 = -10-2
c2=
f ''(1)
2 !
   . . . ...f''(0)でないことに注意
f'(x) =(-1)(x+9)-2より
f''(x) =(-1)(-2)(x+9)-3なので
f''(1) =(-1)(-2)(1+9)-3よって
c2=
(-1)(-2) 10-3
2 !
= 10-3
c3=
f '''(1)
3 !
  ...f'''(0)でないことに注意
f''(x) =(-1)(-2)(x+9)-3より
f'''(x) =(-1)(-2)(-3)(x+9)-4なので
f'''(1) =(-1)(-2)(-3)(1+9)-4よって
c3=
(-1)(-2)(-3) 10-4
3 !
= -10-4
c4=
f ''''(1)
4 !
  ...f''''(0)でないことに注意
f'''(x) =(-1)(-2)(-3)(x+9)-4より
f''''(x) =(-1)(-2)(-3)(-4)(x+9)-5なので
f''''(1) =(-1)(-2)(-3)(-4)(1+9)-5よって
c4=
(-1)(-2)(-3)(-4) 10-5
4 !
= 10-5
途中で(-1)(-2)(-3)(-4)など計算しないほうが良いです



同様に続けていくと
c5 = -10-6 , c6 = 10-7 , c7 = -10-8 , c8 = 10-9 , ...

cn = (-1)n10-(n+1)
展開式に代入 得られた係数を完成形に代入して完成
f(x) 〜 10-1 - 10-2(x-1) + 10-3(x-1)2 - 10-4(x-1)3
+ 10-5(x-1)4 - 10-6(x-1)5 + ...
+ (-1)n10-(n+1)(x-1)n + ... 


少し練習

左辺には元の関数を書くので(x+9)-1としてもよい

左辺にf(1)とか f0などと書くと不可

中川研HOME   ◆情報通信工学科   ◆東北工業大学