f(x) をx=aの周りでテイラー展開、という場合、
f(x) 〜  c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + c3(x-a)3 + c4(x-a)4 + ... 
の形が正解ですが

f(x) 〜  c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + ...  では不可です。

(x-a) は微小ですが、 x は微小とは限りません。
微小でないもので展開したら、x2、x3、x4、、、
と進むにつれてどんどん値が発散していってしまいます。

このようにかいていいのは a が0の場合だけです。


また、
f(x) をx=aの周りでテイラー展開、という場合、
f(x) 〜  c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + c3(x-a)3 + c4(x-a)4 + ... + cn(x-a)n + ...
の形が正解ですが

f(x) 〜  c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + c3(x-a)3 + c4(x-a)4 + ... + cn(x-a)n
では不可です。

えっどこが?最後の「+ ...」が無いだけですが、、、、。

最後の「+ ...」は、このあと展開が無限に続くことを示すのに必要です。

ただし、関数によっては
n次より先の cnがすべて0になる場合もありますから、
そういうときなら「+ ...」は書かなくても良いです。


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