東北工業大学 情報通信工学科 中川研究室


テイラー展開

前のページより続く f(x) = .... を x=a の周りでテイラー展開しなさい
といったら、重要なことは、 x が a に近い ということです。

xが aに近いんだから f(x) に代入したらf(a)に近いよね。つまり
f(x) 〜 f(a) です。
a が定数だから、代入して求めたf(a) も定数なわけで、
この書き方だと、f(x)を定数で近似してるわけです。

だいたいの近似としては悪くないですが、定数ではあんまり簡単にしすぎ、、、 と言う気もしますし、そもそも「展開」って感じじゃないですね。 x=a の周りで展開といったら、 (x-a)とか (x-a)2とか (x-a)3とか (x-a)4とか (x-a)5とか (x-a)6とか の式を使って近似することを言います。

x=a の周りでといった場合、 x が a に近いのですから、 (x-a) は 0.0007 みたいに微小な量ですよね。 (x-a)2 や (x-a)3 は、 微小な量を2回も3回も掛けたものですから、 もっともっと微小な量ですよね。 テイラー展開は、このように、 微小な量 (x-a) の多項式 の形にするところがポイントです。

(x-a)とか (x-a)2とか (x-a)3とか (x-a)4とか の式といったら、 c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + c3(x-a)3 + c4(x-a)4 + ...  というかんじに書けますね。 c0とか c1は仮に書いた係数です。

なぜこの形にできる?


cnの求め方
ここに出てくる c0とか c1とか c2とか c3とかの係数 を求めて代入すれば、近似式
f(x) 〜  c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + c3(x-a)3 + c4(x-a)4 + ... 
ができるわけで、この係数を求める方法が
c0= f (a)   . . . f(0)とは限らないことに注意
c1=
f '(a)
1 !
  . . . f'(0)とは限らないことに注意
c2=
f ''(a)
2 !
   . . . f''(0)とは限らないことに注意
c3=
f '''(a)
3 !
   . . . .f'''(0)とは限らないことに注意
c4=
f '''' (a)
4 !
   . . . .f'''' (0)とは限らないことに注意
:
cn=
f (n) (a)
n !
というだけです。



よくある間違い1

よくある間違い2

係数がこの式になる理由

完成形はこの形 f(x) = .... を x=a の周りでテイラー展開しなさい
といわれた場合の完成形は、
f(x) 〜 c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + c3(x-a)3
+ c4(x-a)4 + c5(x-a)5 + ... + cn(x-a)n + ... 
で、ここに出てくる c0, c1, c2, ..., cnの部分に数値が入っているものです。 (x-a)微小であることに注意。


続く


よくある間違い3

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