自己相似解の導出

イオン温度が０でないときの「自己相似解」の導出

ウェイクなどの真空領域にプラズマが侵入していくときの 速度$v$や密度$n$を
距離$y$の式（関数）で書く「自己相似解」の導出です。
$y$方向をウェイクに入っていく方向とします。
話を簡単にするため、 $x$方向と$z$方向は一様と仮定します。

イオンと電子の運動方程式 \begin{align}\begin{aligned} n_i m_i ( {\partial \over \partial t} v_{iy} + v_{iy} {\partial \over \partial y} v_{iy} ) & = - {\partial \over \partial y} P_{i} + n_i q E_y \\ \end{aligned}\tag{A1}\end{align}

まず運動方程式の変形

圧力を$y$で微分していますが、 次のような仮定を入れると、圧力の変化は、密度の変化を使って書き直すことができます： \begin{equation} {P \over n^{\gamma}} = 一定　\tag{A6} \end{equation} ここで $\gamma $(ガンマ）とは、等温なら１、断熱なら $\gamma =(N+2)/N$となる定数。 $N$ は自由度で、3次元空間なら3、よって$\gamma =5/3$ となる。 (A6)の定数を$C$とおいたら \begin{equation} P = C n^{\gamma} \end{equation} $y$で微分すると \begin{align}\begin{aligned} {\partial P \over \partial y} &= {\partial P \over \partial n} {\partial n \over \partial y}\\ &= C \gamma n^{\gamma -1}{\partial n \over \partial y}\\ &= C \gamma {n^{\gamma} \over n} {\partial n \over \partial y}\\ &= \gamma C n^{\gamma} {1 \over n} {\partial n \over \partial y}\\ &= \gamma P {1 \over n} {\partial n \over \partial y}\\ &= \gamma P {\partial \over \partial y}(\log_e{n})\\ \end{aligned}\end{align}

$c_a$を決める際、 Allen and Andrews [1970] がイオンの温度 $T_i$ を０と仮定したので それ以降の Denavit (1979) Samir et al. （1983） Ogilvie et al. (1996)も $T_i=0$ の$c_a$を使っていますが Nakagawa(2013)では $T_e$ と $T_i$ の両方を入れた(A9)式で $c_a$ を求めます。

次に連続の式の変形

(A3)の連続の式の積の微分を実行すると \begin{equation} {\partial \over \partial t} n_{i} + v_i {\partial \over \partial y} n_i + n_i {\partial \over \partial y} v_{i} = 0 \end{equation} 全体をイオン密度$n_i$で割ると \begin{equation} {1 \over n_i}{\partial \over \partial t} n_{i} + v_i {1 \over n_i} {\partial \over \partial y} n_i + {\partial \over \partial y} v_i = 0 \end{equation} \begin{equation} {\partial \over \partial t}(\log_e{ n_{i}}) + v_i {\partial \over \partial y} (\log_e{ n_{i}}) + {\partial \over \partial y} v_i = 0 \tag{A3'} \end{equation} これを(A8)と比べると似てます。 $v_i$と$(\log_e{ n_{i}})$が入れ替わったような感じになっています。
だけど(A3')の３項目と(A8)右辺がちょっと合いません。

運動方程式と連続の式を連立させて解く

まず特殊解

特殊解というのは、野生の勘でも何でもいいから１つ解を探す、ってことです。
一番単純な解は「すべてが０」だけど、さすがにこれはつまらないので、
次に簡単そうな \begin{equation} {v_{iy} \over c_a} + \log_e{ n_i}=一定 \end{equation}を考えます。 一定（定数）なら、何で微分して０なので、(A8''')に代入してなりたちますね。 時刻$t=0$のときウェイク境界$y=y_0$における密度が $n_0$、速度が$v_{iy} =0$とすると \begin{equation} {0 \over c_a} + \log_e{ n_0}=一定 \end{equation} 「一定」の値が$\log_e{ n_0}$と分かります。前の式に代入して \begin{equation} {v_{iy} \over c_a} + \log_e{ n_i}=0 + \log_e{ n_0} \end{equation} 対数のところをまとめると \begin{equation} {v_{iy} \over c_a} + ( \log_e{ n_i}-\log_e{ n_0}) =0 \end{equation} \begin{equation} {v_{iy} \over c_a} + ( \log_e{ n_i \over n_0}) =0 \end{equation} よって \begin{equation} { v_i \over c_a } = - \log _e ({n_i\over n_0}) \tag{A10前半} \end{equation} と、速度が密度の式で書けることがわかりました。

\begin{equation} {\partial \over \partial y} ({v_{iy} \over c_a}) + {\partial \over \partial y}(\log_e{ n_i})= {\partial \over \partial y}(一定) =0 \end{equation} なので \begin{equation} {\partial \over \partial y}(\log_e{ n_i}) = - {\partial \over \partial y}({v_{iy} \over c_a}) \end{equation} これを使って(A8'')の３項目を書き直すと \begin{equation} {\partial \over \partial t} ({v_{iy} \over c_a}) + v_{iy} {\partial \over \partial y} ({v_{iy} \over c_a}) - c_a {\partial \over \partial y} ({v_{iy} \over c_a}) = 0 \end{equation} つまり \begin{equation} {\partial \over \partial t} ({v_{iy} \over c_a}) + ( v_{iy}- c_a ){\partial \over \partial y} ({v_{iy} \over c_a}) = 0\tag{A8''''} \end{equation} この形の方程式は、「自己相似形」といい、
$\displaystyle ({v_{iy} \over c_a})$が $\displaystyle {(y-y_0) \over t }$ の関数で書けることが 特に流体力学の分野で知られているそうです。
$y_0$はウェイク境界の位置です。

自己相似解を求める

ここちょっとややこしいのですが
$\displaystyle ({v_{iy} \over c_a})$が $\displaystyle {(y-y_0) \over t }$ そのもの、ではなくて
$\displaystyle ({v_{iy} \over c_a})$が $\displaystyle {(y-y_0) \over t }$ の「関数」です。
この$\displaystyle {(y-y_0) \over t }$に$\xi$と名付けると
($\xi$はクサイとかザイとか読みます。英語でフリガナふるとxi）
\begin{equation} ({v_{iy} \over c_a}) =f_{(\xi)} \, ( \xiのでてくる式という意味) \end{equation} \begin{equation} ただし \xi = {y - y_0 \over t } \end{equation} てことです。
（Denvit 1979の論文では、変化方向を$x$に,ウェイク境界を$x=0$にして$\displaystyle \xi={x \over t}$）
じゃあ$f(\xi)$はどんな式なのか求めるため、これを(A8'''')に代入します。

\begin{equation} {\partial \over \partial t} f_{(\xi)} + ( c_a f_{(\xi)}- c_a ){\partial \over \partial y} f_{(\xi)} =0 \end{equation}

\begin{align}\begin{aligned} {\partial \over \partial t} f_{(\xi)} &= {\partial f_{(\xi)} \over \partial \xi} {\partial \xi \over \partial t}\\ &= {\partial f_{(\xi)} \over \partial \xi} {\partial \over \partial t} ({y - y_0 \over t } )\\ &= {\partial f_{(\xi)} \over \partial \xi} (- {y - y_0 \over t^2 } )\\ &= - {\xi \over t} {\partial f_{(\xi)} \over \partial \xi} \end{aligned}\end{align}

\begin{align}\begin{aligned} {\partial \over \partial y} f_{(\xi)} &= {\partial f_{(\xi)} \over \partial \xi} {\partial \xi \over \partial y}\\ &= {\partial f_{(\xi)} \over \partial \xi} {\partial \over \partial y} ({y - y_0 \over t } )\\ &= {\partial f_{(\xi)} \over \partial \xi} ({ 1 \over t } )\\ &= {1 \over t} {\partial f_{(\xi)} \over \partial \xi} \end{aligned}\end{align} なので、これらを代入すると \begin{align}\begin{aligned} - {\xi \over t} {\partial f_{(\xi)} \over \partial \xi} + c_a (f_{(\xi)}- 1 ) {1 \over t} {\partial f_{(\xi)} \over \partial \xi} =0 \end{aligned}\end{align} 共通因数でくくって \begin{align}\begin{aligned} {1 \over t} {\partial f_{(\xi)} \over \partial \xi} (- \xi + c_a (f_{(\xi)}- 1 ) )=0 \end{aligned}\end{align} つまり \begin{align}\begin{aligned} (- \xi + c_a (f_{(\xi)}- 1 ) )=0 \end{aligned}\end{align} つまり \begin{align}\begin{aligned} f_{(\xi)} = 1+ {\xi \over c_a} \end{aligned}\end{align} なので、 \begin{align}\begin{aligned} { v_i \over c_a } = - \log _e ({n_i\over n_0}) &= ( 1 +{ \xi \over c_a} ) \\ &= ( 1 + {y - y_0 \over c_a t } ) \end{aligned}\tag{A10,A11}\end{align} となります。 速度について書けば \begin{align}\begin{aligned} v_i = c_a ( 1 + {y - y_0 \over c_a t } ) \end{aligned}\end{align} 同じ時刻ならば、ウェイクの中($y_0$大）ほど速いということです。
密度の対数をほどけば \begin{align}\begin{aligned} n_i = n_0 e^{- ( 1 + {y - y_0 \over c_a t } ) } \end{aligned}\end{align} となります。これが自己相似解です。

時刻$t$は位置$x$から出せる

時刻$t$はイオンがウェイク境界から中に入りはじめてからの時間ですが、
太陽風中の月の裏側のウェイクの場合、
境界からウェイクに入り始めるのはSSE座標の$x=0$と考えられ、
太陽風速度$v_{sw}$（＋磁場に沿った熱速度）によって、下流($-x$方向）に流されつつ ウェイク内($y$方向）に入ってきますので 入り始めてからの時間$t$は 太陽風磁場がないとき・太陽風磁場が流れに垂直な時は \begin{align}\begin{aligned} t = {| x |\over| v_{sw}| } \end{aligned}\end{align} 太陽方向をプラスにとれば、$v_{sw}$もウェイク中の$x$もマイナスなので $t=x/v_{sw}$これを入れると \begin{align}\begin{aligned} v_i = c_a ( 1 + {v_{sw} \over c_a}{ (y - y_0) \over x } ) \end{aligned}\end{align} このように、場所$x,y$を指定するとイオン速度が簡単な式で書けるため、 「自己相似解」は観測や数値実験と比べるによく使われてきました。 しかし、等温とか、準中性とか、かなり簡単化をしているので 詳しい計算結果とは合わないことをすでにDeavit(1979)が示しています。
月面の帯電とか磁場の効果も入っていませんから、あくまで 参考程度に使うのが良いと思います。

太陽風磁場が強くて、イオンは磁場に沿ってしか入れないような場合は \begin{align}\begin{aligned} t = {| x |\over| v_{sw}+v_{th}\cos{\theta_B}| } （磁場に沿って入ると太陽風と同方向の場合） \end{aligned}\end{align} または \begin{align}\begin{aligned} t = {| x |\over| v_{sw}-v_{th}\cos{\theta_B}| } （磁場に沿って入ると太陽風に逆らう方向の場合） \end{aligned}\end{align} と考えられます。 ここで$\theta_B$は磁場と太陽風速度のなす角度です。

導出が書いてある文献