数値解析　連立方程式　LU分解

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「単位左下三角行列」の連立方程式
$ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 & ...& 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 & ... &0 \\ 　: & : & : & & : \\ l_{n1} & l_{n2} & l_{n3} & ...& 1 \end{array} \right) $
$ \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ :\\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ b_3\\ :\\ b_n\\ \end{array} \right) $
や
「右上三角行列」の連立方程式
$ \left( \begin{array}{ccccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} & ... & u_{1n} \\ 0 & u_{22} & u_{23} & ... & u_{2n} \\ 0 & 0 & u_{33} & ... & u_{3n} \\ 　: & : & : & & : \\ 0 & 0 & 0 & ... & u_{nn} \end{array} \right) $
$ \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ :\\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ b_3\\ :\\ b_n\\ \end{array} \right) $
を解くのが簡単なのは分かったけど、
こんな都合のいい問題ばかりではないですよね。

課題に出てくる連立方程式はこういうやつ

$ \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & ...& a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & ...& a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & ...& a_{3n} \\ 　: & : & : & & : \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & ...& a_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ :\\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ b_3\\ :\\ b_n\\ \end{array} \right) $

行列に0が並んでたりはしないです。

だけどもし、この行列Ａを、ＬとＵの掛け算で
$ \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & ...& a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & ...& a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & ...& a_{3n} \\ 　: & : & : & & : \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & ...& a_{nn} \end{array} \right) =$
$ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 & ...& 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 & ... &0 \\ 　: & : & : & & : \\ l_{n1} & l_{n2} & l_{n3} & ...& 1 \end{array} \right) $
$ \left( \begin{array}{ccccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} & ... & u_{1n} \\ 0 & u_{22} & u_{23} & ... & u_{2n} \\ 0 & 0 & u_{33} & ... & u_{3n} \\ 　: & : & : & & : \\ 0 & 0 & 0 & ... & u_{nn} \end{array} \right) $
と書くことができたら、
課題の連立方程式は
$ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 & ...& 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 & ... &0 \\ 　: & : & : & & : \\ l_{n1} & l_{n2} & l_{n3} & ...& 1 \end{array} \right) $
$ \left( \begin{array}{ccccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} & ... & u_{1n} \\ 0 & u_{22} & u_{23} & ... & u_{2n} \\ 0 & 0 & u_{33} & ... & u_{3n} \\ 　: & : & : & & : \\ 0 & 0 & 0 & ... & u_{nn} \end{array} \right) $
$ \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ :\\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ b_3\\ :\\ b_n\\ \end{array} \right) $

となるわけで、
この真ん中の部分を
$ \left( \begin{array}{ccccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} & ... & u_{1n} \\ 0 & u_{22} & u_{23} & ... & u_{2n} \\ 0 & 0 & u_{33} & ... & u_{3n} \\ 　: & : & : & & : \\ 0 & 0 & 0 & ... & u_{nn} \end{array} \right) $
$ \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ :\\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ y_3\\ :\\ y_n\\ \end{array} \right) $ とおくと

課題の連立方程式は
$ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 & ...& 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 & ... &0 \\ 　: & : & : & & : \\ l_{n1} & l_{n2} & l_{n3} & ...& 1 \end{array} \right) $
$ \left( \begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ y_3\\ :\\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ b_3\\ :\\ b_n\\ \end{array} \right) $ （簡単に解ける！）

をやったあと、
$ \left( \begin{array}{ccccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} & ... & u_{1n} \\ 0 & u_{22} & u_{23} & ... & u_{2n} \\ 0 & 0 & u_{33} & ... & u_{3n} \\ 　: & : & : & & : \\ 0 & 0 & 0 & ... & u_{nn} \end{array} \right) $
$ \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ :\\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ y_3\\ :\\ y_n\\ \end{array} \right) $ （簡単に解ける！）
をやればOK、ってことになります。

じゃあこの課題の行列Ａを
A=ＬＵ
にできるのか、というと、 それができるんです。

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