ラプラス変換と畳み込み解説デュアメルの重畳定理

ラプラス変換とたたみこみ　デュアメルの重畳定理

電気回路の問題より続く合成法則より続く	重畳定理は、インパルス応答w(t)さえわかれば、どんな入力E(t) に対する応答もわかる (Eとwの畳み込みになる )という定理です。ラプラス変換を使って、電気回路の応答を調べる問題などによく使われます。例えばこれインダクタンスLのコイル、抵抗値Rの抵抗、電気容量Cのコンデンサ　を電源に直列につなぎ、時刻 t=0 にスイッチを入れた。これ以降の電流 i(t) を求めよ	たたみこみラプラス変換
出だしはいつもと同じ	１．電圧降下の合計が電源の起電力E(t)と等しいので L di(t)/dt + R i(t) + q(t)/C = E(t)
	２．両辺をラプラス変換する L( i ' ) + R( i ) + (1/C)( q ) = ( E )
	３．ラプラス変換の微分法則を使う -Li(0) + Ls( i ) + R( i ) + (1/C)( q ) = ( E )	微分法則 ( y’ ) = - y(0) + s ( y )
	４．電荷q(t)と電流i(t)の関係を考え dq(t)/dt = i(t) 　両辺をラプラス変換して左辺に微分法則を使い、 -q(0) + s( q ) = ( i )
	５．( i )だけの式にする ( q ) の式を元の方程式に代入し ( i )の項を左辺に､それ以外を右辺にまとめて ( Ls + R + 1/Cs ) ( i ) 　　　　　　　　　= ( E ) + Li(0) - q(0)/Cs	( Ls + R + 1/Cs )は「特性関数」又は「インピーダンス」
ここがポイント	６．「応答」の場合は､初期条件がすべて０すなわち i(0) = 0, q(0)=0 という約束なので ( Ls + R + 1/Cs ) ( i )　= ( E ) 応答 i(t)は　　　　　　( i )　=( Ls + R + 1/Cs )^-1 ( E ) 電源Eが単位インパルスσ(t)の場合の応答をw(t)とすると　　　　　　( w )　=( Ls + R + 1/Cs )^-1 ( σ(t) ) ( σ(t) ) = 1 なので　　　　　　( w )　=( Ls + R + 1/Cs )^-1 これを電源E の場合の応答に代入すると　　　　　　( i )　= ( w ) ( E )	単位インパルスインパルス応答
	７．ラプラス変換の合成法則 ( w ) ( E )= ( wE ) より　　　　　　( i ) =( w E ) ８．両辺の(　）を同時にはずす　　　　　　　　i = w * E 　　　　　　　　i = E * w と書いても同じ	( f )( g )は ( f g )ではなく ( f * g ) * はたたみこみ wE = Ew
重畳定理この意味は！	電源E(t) に対する応答i(t) は、瞬間瞬間の電源E(t)入力とインパルス応答w(t) の「たたみこみ」 f * w になっているこれがデュアメルの重畳定理です。時間変化する入力に対する出力は、入力をインパルスの連続と考えて、その瞬間瞬間に対する応答を積み重ねただけ、という、なんかすごく当たり前のような、あっけないような定理です。でもこれがあると、その回路のインパルス応答w(t)さえわかれば、どんな入力E(t) に対する応答もわかるわけですから( i = E*w )、応用の場は広いですよね。	ちょうじょう「重畳」と読みます線形ならではですね

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