東北工業大学 工学部情報通信工学科 中川研究室


逆ラプラス変換
前のページより続く
ラプラス変換表はこちら
変形の工夫 例3
ラプラス変換( ebtcos( at )) = \begin{align} {s-b \over (s-b)^2+a^2} \end{align} は知ってるけど
\begin{align} {s \over (s-b)^2+a^2} \end{align} が逆変換できない

分子に s-b がほしいんですよね?
分子が s-b になるように、bを引いてから、また足してはどうでしょう。
\begin{align} {s \over (s-b)^2+a^2} \end{align} = \begin{align} {s-b + b \over (s-b)^2+a^2} \end{align}

= \begin{align} {s-b \over (s-b)^2+a^2} \end{align} + \begin{align} { b \over (s-b)^2+a^2} \end{align}

= ラプラス変換( ebtcos( at )) + \begin{align} {b \over a} \cdot { a \over (s-b)^2+a^2} \end{align}

= ラプラス変換( ebtcos( at )) + $\displaystyle {b \over a} $ ラプラス変換( ebtsin( at ))
変形の工夫 例4
ラプラス変換( e-2t) = $\displaystyle {1 \over s+2} $ は知ってるけど $\displaystyle {1 \over 2s+1} $ が逆変換できない

分母が sから始まるように、2を外に出してはどうでしょう。

$\displaystyle {1 \over 2s+1} = {1 \over 2(s+0.5)} = {1 \over 2} \cdot {1 \over s-(-0.5) } = {1\over 2} $ ラプラス変換( e-0.5t)
変形の工夫と
部分分数分解
例1
\begin{align} { 1 \over (s+1)(2s+1)} \end{align} が逆変換できない

上記「変形の工夫例4」と、部分分数分解でできます。
\begin{align} { 1 \over (s+1)(2s+1)} \end{align} = \begin{align} {1\over 2} \cdot { 1 \over (s+1)(s+0.5)} \end{align}

= \begin{align} {1\over 2} {1\over (\quad 0.5 \quad)} \{ { 1 \over (s+0.5)} - {1 \over (s+1) } \} \end{align}

= ラプラス変換( e-0.5t ) - ラプラス変換( e-t )

変形の工夫と
部分分数分解
例2
ラプラス変換( cos( at ) ) = \begin{align} {s \over s^2+a^2} \end{align} は知ってるけど \begin{align} {s \over s^2 -a^2} \end{align} が逆変換できない

一見、似てるようですが、ラプラス変換( cos( at ) ) は使いません。
分母が因数分解できるので、部分分数に分けます。
\begin{align} {s \over s^2 -a^2} \end{align} = \begin{align} s \cdot {1 \over (s -a) (s+a)} \end{align}

= \begin{align} s \cdot {1 \over ( 2a ) } \{ {1 \over (s -a)}-{1\over (s+a)} \} \end{align}

= \begin{align} {1 \over 2a } \{ {s \over (s -a)}-{s\over (s+a)} \} \end{align}

= \begin{align} {1 \over 2a } \{ {s-a+a \over (s -a)}-{s+a-a\over (s+a)} \} \end{align}

= \begin{align} {1 \over 2a } \{ 1 + {a \over (s -a)}-( 1 -{a\over (s+a)} ) \} \end{align}

= \begin{align} {1 \over 2a } \{ {a \over (s -a)} +{a\over (s+a)} ) \} \end{align}

= \begin{align} {1 \over 2 } \{ {1 \over (s -a)} +{1 \over (s+a)} ) \} \end{align}

= $\displaystyle {1 \over 2} $ { ラプラス変換( eat ) + ラプラス変換( e-at ) }
自分は最初に分子を (s-a) +a と考えました、という方、それも良いですよね。いろいろやってみてください。

続く

中川研HOME