情報通信工学科1年 解析(中川) 宿題9(増減表とグラフ)
- 増減表を書いてグラフを描きなさい。
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(9) y = x4 - 4 x3 + 1
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y ' = 4 x3 - 12 x2
= 4 x2 ( x -3 )
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4 x2 は常にプラスなので、
傾き y ' が+になるのは x-3 が+の時
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x-3 > 0 つまり x > 3 のとき y ' が+
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傾き y ' が−になるのは x-3 < 0 つまり x < 3 のとき
ただし x=0 のときは y ' =0
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傾き y ' が0になるのは x=3 のときと、x=0のとき。
- x=0のときy= 0+0+1=1
- x=3のときy= 34 - 4・33 + 1 = -26
これらを増減表にかくと-
x |
| 0 |
| 3 |
|
傾き y' | - | 0 | - | 0 | + |
グラフ y | \ 減少 | 1 | \ 減少 | 極小値 -26 | / 増加 |
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傾きの増加率も求めてみると
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y ' ' = { 4 x3 - 12 x2 } '
= 12 x2 -24 x
= 12 x(x-2)
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y ' ' が+になるのは x(x-2) > 0 のとき
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(1) x > 0 かつ x-2 > 0 つまり x > 2 のときy ' ' が+ (下に凸)。
(2) x < 0 かつ x-2 < 0 つまり x < 0 のときy ' ' が+ (下に凸)。
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y ' ' が−になるのは x(x-2) < 0のとき
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(3) x > 0 かつ x-2 < 0 つまり 0< x < 2 のときy ' ' が - (上に凸)。
(4) x < 0 かつ x-2 > 0 はありえない
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y ' ' が0になるのは x=0 と x=2 のとき(変曲点)。
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(5) x =0 のとき y=1
(6) x =2 のとき y=24 - 4・23 + 1 = -15
これらを増減表に加えると
x |
| 0 |
| 2 |
| 3 |
|
傾き y' | - | 0 | - | - | - | 0 | + |
曲率 y '' | + | 0 | - | 0 | + | + | + |
グラフ y | 減少 | 変曲点 1 | 減少 | 変曲点 -15 | 減少 | 極小値 -26 | 増加 |
これをみてグラフをかく。グラフが最終目的なので、表で終わらないようにね