情報通信工学科1年 解析(中川) 宿題9(増減表とグラフ)
増減表を書いてグラフを描きなさい。

(9) y = x4 - 4 x3 + 1

y ' = 4 x3 - 12 x2
   = 4 x2 ( x -3 )

4 x2 は常にプラスなので、
傾き y ' が+になるのは x-3 が+の時
x-3 > 0 つまり x > 3 のとき y ' が+

傾き y ' が−になるのは x-3 < 0 つまり x < 3 のとき
 ただし x=0 のときは y ' =0

傾き y ' が0になるのは x=3 のときと、x=0のとき。
x=0のときy= 0+0+1=1
x=3のときy= 34 - 4・33 + 1 = -26

これらを増減表にかくと
x
0
3
傾き y' - 0 - 0 +
グラフ y
減少
1
減少
極小値
-26

増加

傾きの増加率も求めてみると
y ' ' = { 4 x3 - 12 x2 } '
   = 12 x2 -24 x
   = 12 x(x-2)
y ' ' が+になるのは x(x-2) > 0 のとき

(1) x > 0 かつ x-2 > 0 つまり x > 2 のときy ' ' が+ (下に凸)。

(2) x < 0 かつ x-2 < 0 つまり x < 0 のときy ' ' が+ (下に凸)。

y ' ' が−になるのは x(x-2) < 0のとき

(3) x > 0 かつ x-2 < 0 つまり 0< x < 2 のときy ' ' が - (上に凸)。

(4) x < 0 かつ x-2 > 0 はありえない

y ' ' が0になるのは x=0 と x=2 のとき(変曲点)。

(5) x =0 のとき y=1
(6) x =2 のとき y=24 - 4・23 + 1 = -15

これらを増減表に加えると
x
0
2
3
傾き y' - 0 - - - 0 +
曲率 y '' + 0 - 0 + + +
グラフ y
減少
変曲点
1

減少
変曲点
-15

減少
極小値
-26

増加

これをみてグラフをかく。グラフが最終目的なので、表で終わらないようにね