情報通信工学科１年　解析（中川） 宿題9（増減表とグラフ）

増減表を書いてグラフを描きなさい。

(8) y = x^-1 e^x

y ' = (x^-1 )' e^x + x^-1( e^x )'
　　 = -x^-2 e^x + x^-1 e^x
　　 = ( -x^-2 +x^-1 ) e^x
　　 = x^-2 e^x ( -1 + x )

x^-2 e^x は常にプラスなので、
傾き y ' が＋になるのは -1+x が＋の時

-1 + x > 0 つまり x > 1 のとき y ' が＋

傾き y ' が−になるのは -1 + x < 0 つまり x < 1 のとき

傾き y ' が0になるのは -1+x=0のとき。つまりx=1のとき

このときy= e これらを増減表にかくと

x		1
傾き y'	-	0	+
グラフ y	＼ 減少	極小値 e	／ 増加

傾きの増加率も求めてみると

y ' ' = { ( -x^-2 +x^-1 ) e^x } '
　　　= ( -x^-2 +x^-1 )’e^x + ( -x^-2 +x^-1) ( e^x ) '
　　　= ( 2x^-3 -x^-2 ) e^x + ( -x^-2 +x^-1) ( e^x ) '
　　　 = ( 2x^-3 -2 x^-2 + x^-1 ) e^x
　　　 = x^-3(2 - 2x + x² ) e^x
　　　 = x^-3{ (x-1)²+1 } e^x

{ (x-1)²+1 } e^x は常にプラスなので、
y ' ' が＋になるのは x^-3 > 0 つまり x > 0 のとき（下に凸）。

y ' ' が - になるのは x^-3 < 0 つまり x < 0 のとき (上に凸）。

y ' ' の正負の境は x =　0 のときだが、
　　分母が０はあり得ないのでこの点は無く、
　　x→ +0 なら∞、　　x→ -0 なら -∞

これらを増減表に加えると 　

x		0			1
傾き y'	-	-		-	0	+
曲率 y' '	-	-∞	+∞	+	+	+
グラフ y	減少	-∞	+∞	減少	極小値 e	増加

これをみてグラフをかく。グラフが最終目的なので、表で終わらないようにね