情報通信工学科1年 解析(中川) 宿題9(増減表とグラフ)
- 1.増減表を書いてグラフを描きなさい。
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(2) y = 2 x3 - 9 x2 + 12 x (初心者向き)
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y ' = 6x2 - 18 x + 12
= 6 ( x2 - 3 x + 2 )
= 6(x-1)(x - 2)
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傾き y ' が+になるのは
-
(i) x - 1 >0 かつ x - 2 >0 のとき
つまり x>1 かつ x>2のとき
つまり x>2のとき
(ii) x - 1<0 かつ x - 2 <0 のとき
つまり x<1 かつ x<2のとき
つまり x<1のとき
- 傾き y ' が - になるのは
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(iii) x - 1 >0 かつ x - 2 <0 のとき
つまり x>1 かつ x<2のとき
つまり 1 < x < 2のとき
(iv) x - 1 < 0 かつ x - 2 > 0 のとき
つまり x<1 かつ x>2のとき
これは ありえない
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傾き y ' が 0 になるのは
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x - 1 =0 または x - 2 =0 のとき
つまり x=1 または x =2 のとき
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これらを増減表に書くと
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x |
| 1 |
| 2 |
|
傾きy' | + | 0 | - | 0 | + |
グラフy | / 増加 | 極大 5 | \ 減少 | 極小 4 | / 増加 |
極大値を求めると
x=1 のとき
y = 2 ・13 - 9 ・12 + 12 = 5 .....増減表に記入
極小値を求めると
x=2 のとき
y = 2 ・23 - 9 ・22 + 24 = 4 .....増減表に記入
...........................これをみてグラフをかく。
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詳しく曲率も求めるなら
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y ' '= ( 6x2 - 18 x + 12 ) '
= 12x−18
= 6 (2x−3)
y ' ' が+になるのは
2x-3>0 のとき、つまり 2x>3 つまり x>3/2のとき(下に凸)。
y ' ' が - になるのは
2x-3<0 のとき、つまり 2x<3 つまり x<3/2のとき(上に凸)。
y ' ' が 0 になるのは
2x-3=0 のとき、つまり x= 3/2 =1.5 のとき(変曲点)。
変曲点を求めると
x=3/2のとき
y = 2 ・(3/2)3 - 9 ・(3/2)2 + 12 = 9/4 - 81/4 + 12 = 9/2
これらを増減表に加えると
x |
| 1 |
| 3/2 |
| 2 |
|
傾き y' | + | 0 | - | - | - | 0 | + |
曲率 y' ' | - | - | - | 0 | + | + | + |
グラフ y | 増加 | 極大 5 | 減少 | 変曲点 9/2 | 減少 | 極小 4 | 増加 |
これをみてグラフをかく。グラフが最終目的なので、表で終わらないようにね