情報通信工学科1年 解析(中川) 宿題9(増減表とグラフ)
1.増減表を書いてグラフを描きなさい。
(2) y = 2 x3 - 9 x2 + 12 x   (初心者向き)

y ' = 6x2 - 18 x + 12
   = 6 ( x2 - 3 x + 2 )
   = 6(x-1)(x - 2)

傾き y ' が+になるのは

(i) x - 1 >0 かつ x - 2 >0 のとき
 つまり x>1 かつ  x>2のとき
 つまり   x>2のとき

(ii) x - 1<0 かつ x - 2 <0 のとき
 つまり x<1 かつ  x<2のとき
 つまり   x<1のとき

傾き y ' が - になるのは

(iii) x - 1 >0 かつ x - 2 <0 のとき
 つまり x>1 かつ  x<2のとき
 つまり  1 < x < 2のとき

(iv) x - 1 < 0 かつ x - 2 > 0 のとき
 つまり x<1 かつ  x>2のとき
 これは ありえない

傾き y ' が 0 になるのは
 x - 1 =0 または x - 2 =0 のとき
 つまり x=1 または x =2 のとき

これらを増減表に書くと
x
1
2
傾きy' + 0 - 0 +
グラフy
増加
極大
5 

減少
極小
4 

増加
極大値を求めると
x=1 のとき y = 2 ・13 - 9 ・12 + 12 = 5 .....増減表に記入

極小値を求めると
x=2 のとき y = 2 ・23 - 9 ・22 + 24 = 4 .....増減表に記入

 ...........................これをみてグラフをかく。

詳しく曲率も求めるなら
y ' '= ( 6x2 - 18 x + 12 ) '
   = 12x−18
   = 6 (2x−3)

y ' ' が+になるのは
2x-3>0 のとき、つまり 2x>3 つまり x>3/2のとき(下に凸)。

y ' ' が - になるのは
2x-3<0 のとき、つまり 2x<3 つまり x<3/2のとき(上に凸)。

y ' ' が 0 になるのは
2x-3=0 のとき、つまり x= 3/2 =1.5 のとき(変曲点)。
変曲点を求めると
x=3/2のとき y = 2 ・(3/2)3 - 9 ・(3/2)2 + 12 = 9/4 - 81/4 + 12 = 9/2

これらを増減表に加えると
x
1
3/2
2
傾き y' + 0 - - - 0 +
曲率 y' ' - - - 0 + + +
グラフ y
増加
極大
5

減少
変曲点
9/2

減少
極小
4

増加

これをみてグラフをかく。グラフが最終目的なので、表で終わらないようにね