情報通信工学科1年 解析(中川) 宿題9(増減表とグラフ)
- 増減表を書いてグラフを描きなさい。
-
(12) y = e-ax sin( x ) ただし a = 1/√3, 範囲は 0< x< 2p
-
y ' = ( e-ax)' sin( x ) + e-ax { sin( x ) }'
= -ae-ax sin( x ) + e-ax cos( x )
= e-ax { -a sin( x ) + cos( x ) }
-
e-ax は常にプラスなので、
傾き y ' が+になるのは { -a sin( x ) + cos( x ) } が+の時
-
-a sin( x ) + cos( x ) = A sin( x + φ) とおくと
-a sin( x ) + cos( x ) = A sin x cosφ+ A cos x sinφ だから
A cosφ = -a = - 1/√3
A sinφ = 1
それぞれ2乗して足すと
(左辺)=( A cosφ )2 + ( A sinφ )2= A2
(右辺)= a2 + 1 = 4/3
よって
A=2/√3 (Aにはプラスを選ぶ)
よって
cosφ = -a /A = -1 /2
sinφ = 1 / A = √3 /2
両方を満たすφは120度すなわち 2p/3
よって-a sin( x ) + cos( x ) = 2/√3{ sin( x + 2p/3 ) }
よって y ' = 2/√3 e-ax { sin( x + 2p/3 ) }
-
傾き y ' が+になるのは sin( x + 2p/3 ) が + の時
- つまり
0< x + 2p/3 <p ,
2p< x + 2p/3 <3p ,
:
のとき、すなわち
- 2p/3< x <p/3 ,
4p/3< x <7p/3 ,
:
だが、問題の範囲が 0< x< 2pだから
0 < x <p/3 と 4p/3< x <2p でy’がプラス
傾き y ' が0になるのは x = p/3 と x = 4p/3
- x = p/3のときy= e-p/3√3sin(p/3) = (√3/2) e-p/3√3
- x = 4p/3のときy= e-4p/3√3sin(4p/3) = (-√3/2) e-4p/3√3
これらを増減表にかくと-
x | 0 |
| p/3 |
| 4p/3 |
| 2p |
傾き y' | + | + | 0 | - | 0 | + | + |
グラフ y | 0 | / 増加 | 極大値
| \ 減少 | 極小値
| / 増加 | 0 |
極大値 (√3/2) e-p/3√3
極小値 (-√3/2) e-4p/3√3
x=p のとき y=0 などの点も参考にグラフを描く
y '' = 4/3 e-ax { sin( x + 4p/3 ) }
x = 2p/3, 5p/3 で y''=0
x |
0 |
|
p/3 |
|
2p/3 |
|
4p/3 |
|
5p/3 |
|
2p |
傾き y' |
+ |
+ |
0 |
- |
- |
- |
0 |
+ |
+ |
+ |
+ |
y '' |
- |
- |
- |
- |
0 |
+ |
+ |
+ |
0 |
- |
- |
グラフ y |
0 |
増加 |
極大値
|
減少 |
変曲点
|
減少 |
極小値
|
増加 |
変曲点
|
増加 |
0 |
x=2pのとき、y=0でも傾きは0でないことに注意