情報通信工学科1年 解析(中川) 宿題9(増減表とグラフ)
- 増減表を書いてグラフを描きなさい。
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(11) y = x log e x
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y ' = (x)’log e x + x ( log e x )’
= log e x + x (1/x)
= log e x + 1
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傾き y ' が+になるのは log e x + 1 > 0 の時
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つまり log e x > -1 の時
つまり log e x > -1 log e e の時
つまり log e x > log e e -1 の時
つまり x > e-1 の時
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傾き y ' が - になるのは x < e-1 の時
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傾き y ' が0になるのは x = e-1 の時。
- このときy= e-1 log e e-1 = -e-1
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また、xはlogの真数になっているから、xはプラスのはずである。だから x > 0 の範囲だけ考えればよい。
これらを増減表にかくと -
x | 0 |
| e-1 |
|
傾き y' | | - | 0 | + |
グラフ y |
| \ 減少 | 極小値 -e-1 | / 増加 |
-
傾きの増加率も求めてみると
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y ' ' = { log e x + 1 } '
= 1/ x
x >0 の範囲で、これは常にプラス。
x | 0 |
| e-1 |
|
傾き y' | | - | 0 | + |
曲率 y '' |
| + | + | + |
グラフ y | 0に漸近 | 減少 | 極小値 -e-1 | 増加 |
x → +0のとき、 y = x log e x は
lim x→+0 | | lim x→+0 | log e x | -∞ |
{ x log e x } = | ------ = | --- |
| (1/x) | +∞ |
ロピタルの定理を使って
lim x→+0 | | lim x→+0 | { log e x } ' | lim x→+0 | (1/x) | lim x→+0 |
|
{ x log e x } = | --------- = | ---- = | ( -x ) = 0 |
| {1/x} ' | -1/x2 |
|