情報通信工学科１年　解析（中川） 宿題9（増減表とグラフ）

増減表を書いてグラフを描きなさい。

(10) y = e^-x2

u= -x²とおけば y = e^u　だから
y ' = ( e^u　)' ( -x² )'
　　 = e^u ( -2x )
　　 = -2x e^-x2

傾き y ' が＋になるのは -2x e^-x2が＋の時だが

e^-x2 は常にプラスなので、
-2x > 0 つまり 0 > x のとき y ' が＋

傾き y ' が-になるのは -2x e^-x2が-の時だが

e^-x2 は常にプラスなので、
-2x < 0 つまり 0 < x のとき y ' が-

傾き y ' が0になるのは -2x =0のとき。つまり x= 0

このときy= e⁰ = 1

これらを増減表にかくと

x		0
傾き y'	+	0	-
グラフ y	／ 増加	極大値 1	＼ 減少

傾きの増加率も求める

y ' ' = ( -2x e^-x2 ) '
　　　= ( -2x ) ' e^-x2 - 2x ( e^-x2) '
　　　= -2 e^-x2 - 2x ( -2x e^-x2 )
　　　= -2 e^-x2 + 4 x² e^-x2
　　　= ( 4 x² -2 ) e^-x2
　　　= 4 ( x² - 1/2 ) e^-x2
　　　= 4 ( x + 1/√2 ) ( x - 1/√2 ) e^-x2
e^-x2 は常にプラスなので、
y ' ' が＋になるのは ( x + 1/√2 ) ( x - 1/√2 ) > 0 のとき（下に凸）。
( x + 1/√2 ) > 0 かつ( x - 1/√2 )> 0　のとき　... つまり　x ＞ 1/√2　のとき、
または
( x + 1/√2 ) < 0 かつ( x - 1/√2 ) < 0 のとき　... つまり　x < - 1/√2　のとき。

y ' ' が - になるのは ( x + 1/√2 ) ( x - 1/√2 ) < 0 のとき（上に凸）。

大きい方　( x + 1/√2 ) が　> 0 で、小さい方　( x - 1/√2 ) が < 0 のとき。
つまり　 - 1/√2 < x < 1/√2 のとき上に凸。
　　　変曲点を求めると
　　　x= - 1/√2 のときも　x= 1/√2 のときも y = 1/√e　

これらを増減表に加えると 　　　　

x		- 1/√2		0		1/√2
傾き y '	+	+	+	0	-	-	-
曲率 y ' '	+	0	-	-	-	0	+
グラフ y	増加	変曲点 1/√e	増加	極大値 1	減少	変曲点 1/√e	減少

これをみてグラフをかく。グラフが最終目的なので、表で終わらないようにね