東北工業大学 工学部情報通信工学科 中川研究室


三角関数の位相表示

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位相表示
√3 cos( x ) + sin( x ) を
A sin( x +φ ) の形に表しなさい



Aが振幅
φが位相

左辺に元の式、右辺に最終目的の形を書いて、等しくなるように
√3 cos( x ) + sin( x ) = A sin( x +φ ) とおき、

右辺に加法定理を使って
√3 cos( x ) + sin( x ) = A ( sin( x ) cosφ + cos( x ) sinφ )

Aを分配すると
√3 cos( x ) + sin( x ) = A sin( x ) cosφ + A cos( x ) sinφ

掛け算の順序は入れ替えてもいいので
√3 cos( x ) + sin( x ) = A cosφ sin( x ) + A sinφ cos( x )


加法定理
sin(A+B)=
sinAcosB+cosAsinB
恒等式なので 両辺の cos( x ) に掛け算されているものを見比べると
√3 cos( x ) + sin( x ) = A cosφ sin( x ) + A sinφ cos( x )
これより
A sinφ = √3

両辺の sin( x ) に掛け算されているものを見比べると
(何も書いてないってことは、1倍だから)
√3 cos( x ) + 1 sin( x ) = A cosφ sin( x ) + A sinφcos( x )
これより
A cosφ = 1

この2つの式を連立方程式にして、Aとφを求めていく。
A sinφ = √3 ....(1)
A cosφ = 1 ....(2)

まず振幅A cosφ, sinφ を消すために cos 2φ + sin 2φ = 1 を使いたいから
式(1)の2乗と式(2)の2乗を足すと
( A sinφ )2 + ( A cosφ)2 = ( √3 )2 + 12

A2でまとめて
A2 ( sin2φ + cos2φ ) = 3 + 1

ここで ( cos 2φ+sin2φ)=1 だから
  A2         = 4
∴       A  = 2
ふつう振幅Aは+

次に位相φ 得られたAを(1)(2)に代入
sinφ = √3 /2
cosφ = 1 /2

この両方を満たす角度φ を考える。

sinφ = √3 /2 になるのは、φ = 60度と φ = 120度。
cosφ = 1 /2 になるのは、φ = 60度と φ = -60度。

両方に共通しているのは、φ = 60度。
ラジアンに直すと、φ = π/3 [rad]。

三角形の図を
描いてみてね
完成 得られたAとφを A sin( x +φ ) の形に代入して完成
与式 = 2 cos( x + π/3 )

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