東北工業大学 工学部情報通信工学科 中川研究室


テイラー展開 練習問題


f(x) = ex を x=0 の周りでテイラー展開しなさい



x が   に近いので、
微小量 ( x-   ) の多項式になるよう展開する。

完成形はこの形
ex 〜 c0 + c1(x-  ) + c2(x-  )2 + c3(x-  )3
+ c4(x-  )4 + c5(x-  )5 + ...
+ cn(x-  )n + ... 
cnを求める
いまx=  の周りの展開なので
c0 = f(   )  
f( x ) =         より
f(  ) =          よって c0=

c1=
f ' (   )
1 !
f ( x ) =          より
f ' ( x ) =          なので
f ' (  ) =            よって c1 =

c2=
f '' (   )
2 !
f ' ( x ) =          より
f '' ( x ) =           なので
f '' (  ) =             よって c2 =

c3=
f ''' (   )
3 !
f '' ( x ) =          より
f ''' ( x ) =            なので
f ''' (  ) =              よって c3 =

c4=
f '''' (   )
4 !
f ''' ( x ) =           より
f '''' ( x ) =             なので
f '''' (  ) =              よって c4 =


同様に続けていくと

c5 =

c6 =

c7 =

:
cn = 1 / n!

展開式に代入 得られた係数を展開式に代入して完成
ex 〜 1 + x +
1
2 !
x2 +
1
3 !
x3 +
1
4 !
x4
+
1
5 !
x5 +
1
6 !
x6+ ... +
1
n !
xn+ ...
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1次の項まで取ると
ex 〜 1+x
(xが0に近いとき)

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