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ではいよいよ実例に行きましょうか。
f(x)
= (x+9)-1 を x=1 の周りでテイラー展開しなさい
重要なことは､ x が 1 に近いということです。
ですから f(x)
の値は大体 f(1) = (1+9)-1 = 10-1で、
右辺最初の項は1/10
になるはずと予想できます。
その後ろに補正項が付くはずですが､
x が 1 に近いのですから、補正項は、
xと1とのずれを示す (x-1)
の多項式になっているはずですよね。
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１組の期末試験の問題 |
| 完成形はこの形
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完成形を先に書いておきましょう
f(x) 〜 c0 + c1(x-1) +
c2(x-1)2 + c3(x-1)3 +
c4(x-1)4
- + c5(x-1)5 + ... +
cn(x-1)n + ...
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cnを求める
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ここに出てくる c0 ,
c1 , c2 , c3 ,
...の係数を求めましょう。
いま 1 の周りの展開ですから
- c0 = f(1) ...f(0)でないことに注意
- f(x) =(x+9)-1より
f(1)
=(1+9)-1よって c0 = 10-1
-
- f(x) =(x+9)-1より
f'(x)
=(-1)(x+9)-2なので
f'(1)
=(-1)(1+9)-2よって c1 = -10-2
-
| c2= |
|
. . .
...f''(0)でないことに注意 |
- f'(x) =(-1)(x+9)-2より
f''(x)
=(-1)(-2)(x+9)-3なので
f''(1)
=(-1)(-2)(1+9)-3よって
-
- f''(x) =(-1)(-2)(x+9)-3より
f'''(x)
=(-1)(-2)(-3)(x+9)-4なので
f'''(1)
=(-1)(-2)(-3)(1+9)-4よって
-
-
- f'''(x) =(-1)(-2)(-3)(x+9)-4より
f''''(x)
=(-1)(-2)(-3)(-4)(x+9)-5なので
f''''(1)
=(-1)(-2)(-3)(-4)(1+9)-5よって
| c4= |
| (-1)(-2)(-3)(-4)
10-5 |
| 4
! | |
=
10-5 | |
途中で(-1)(-2)(-3)(-4)など計算しないほうが良いです
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同様に続けていくと
c5 =
-10-6 , c6 = 10-7 , c7 =
-10-8 , c8 = 10-9 ,
...
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cn =
(-1)n10-(n+1)
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| 展開式に代入
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得られた係数を完成形に代入して完成
f(x) 〜 10-1 - 10-2(x-1) +
10-3(x-1)2 -
10-4(x-1)3
- + 10-5(x-1)4 -
10-6(x-1)5 + ...
+
(-1)n10-(n+1)(x-1)n + ...
少し練習
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左辺には元の関数を書くので(x+9)-1としてもよい
左辺にf(1)とか
f0などと書くと不可
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