ラプラス変換・たたみこみ解説ラプラス変換の合成法則

ラプラス変換の合成法則

前のページより続く	なんでたたみこみf＊gのラプラス変換が ( f(t)とg(t)のたたみこみf＊g ) ＝ ( f ) ( g ) になるんでしょうか？右辺から行ってみましょう。たたみこみ ( f ) は、 f (t) に e^-st かけてt=0から∞まで積分したもの、なので ( f ) = ∫_o^∞　e^-st f(t) dt とかきますが、どうせ定積分なので実は変数 t はなんでも良く､ ( f ) = ∫_o^∞　e^-sx f(x) dx と書いたっていい訳です。同様に ( g ) は、 ( g ) = ∫_o^∞　e^-sy g(y) dy と書いたっていいですよね。	見えない方は文字サイズを大きくしてみてね
	ここで掛け算してみましょう。 ( f ) ( g ) = ∫_x=o^∞　e^-sx f(x) dx ∫_y=o^∞　e^-sy g(y) dy 前半は x の、後半は y の関数で､お互い関係ないです。結果をただ掛けただけ。 = ∫_x=o^∞　e^-sx f(x) dx ∫_y=o^∞　e^-sy g(y) dy 関係ないので、違う色にしてみました。ここで、ｘの関数の部分は、後半の y の関数の部分にとっては定数も同然ですから､積分の中に入れても構わず､ = ∫_y=o^∞　e^-sy ∫_x=o^∞　e^-sx f(x) dx g(y) dy さらに、　e^-sy と g(y) は、内側のｘの積分にとっては定数も同然ですから､積分の中に入れても構わず､ = ∫_y=o^∞　 ∫_x=o^∞　e^-sx 　e^-sy f(x) g(y) dx dy できた式をしみじみ見ると､ = ∫_y=o^∞　 ∫_x=o^∞　 e^-s(x+y) f(x) g(y) dx dy e^-s(x+y) f(x) g(y) という関数を、x:0 →∞, y:0 →∞,という２次元空間で重積分することを示しています。	10² 10³ = 10⁵ e^-sx e^-sy = e^-s(x+y)
	つづく

◆中川研HOME