情報通信工学科1年 解析(中川) 宿題9(増減表とグラフ)
- 増減表を書いてグラフを描きなさい。
-
(8) y = x-1 ex
-
y ' = (x-1 )' ex + x-1( ex )'
= -x-2 ex + x-1 ex
= ( -x-2 +x-1 ) ex
= x-2 ex ( -1 + x )
-
x-2 ex は常にプラスなので、
傾き y ' が+になるのは -1+x が+の時
-
-1 + x > 0 つまり x > 1 のとき y ' が+
-
傾き y ' が−になるのは -1 + x < 0 つまり x < 1 のとき
-
傾き y ' が0になるのは -1+x=0のとき。つまりx=1のとき
- このときy= e
これらを増減表にかくと
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x |
| 1 |
|
傾き y' | - | 0 | + |
グラフ y | \ 減少 | 極小値 e | / 増加 |
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傾きの増加率も求めてみると
-
y ' ' = { ( -x-2 +x-1 ) ex } '
= ( -x-2 +x-1 )’ex + ( -x-2 +x-1) ( ex ) '
= ( 2x-3 -x-2 ) ex + ( -x-2 +x-1) ( ex ) '
= ( 2x-3 -2 x-2 + x-1 ) ex
= x-3(2 - 2x + x2 ) ex
= x-3{ (x-1)2+1 } ex
{ (x-1)2+1 } ex は常にプラスなので、
y ' ' が+になるのは x-3 > 0 つまり x > 0 のとき(下に凸)。
y ' ' が - になるのは x-3 < 0 つまり x < 0 のとき (上に凸)。
y ' ' の正負の境は x = 0 のときだが、
分母が0はあり得ないのでこの点は無く、
x→ +0 なら∞、 x→ -0 なら -∞
これらを増減表に加えると
x |
| 0 |
| 1 |
|
傾き y' | - | - | - | 0 | + |
曲率 y' ' | - | -∞ | +∞ | + | + | + |
グラフ y | 減少 | -∞ | +∞ | 減少 | 極小値 e | 増加 |
これをみてグラフをかく。グラフが最終目的なので、表で終わらないようにね