情報通信工学科１年　解析（中川） 宿題9（増減表とグラフ）

増減表を書いてグラフを描きなさい。

(7) y = x e^-2x

y ' = (x)' e^-2x + x ( e^-2x )'
　　 = 　　 e^-2x + x ( -2e^-2x )'
　　 = 　　 e^-2x(1-2x)

傾き y ' が＋になるのは e^-2x(1-2x) が＋の時だが

e^-2x は常にプラスなので、
1-2x > 0 つまり (1/2) > x のとき y ' が＋

傾き y ' が - になるのは e^-2x(1-x) が - の時だが

e^-2x は常にプラスなので、
1-2x < 0 つまり (1/2) < x のとき y ' が-

傾き y ' が0になるのは (1-2x)=0のとき。つまりx=1/2

このときy= (1/2) e^-1

これらを増減表にかくと

x		0.5
傾き y'	+	0	-
グラフ y	／ 増加	極大値 0.5e-1	＼ 減少

傾きの増加率も求める

y ' ' = { e^-2x (1-2x) } '
　　　 = ( e^-2x )' (1-2x) + e^-2x (1-2x)'
　　　 = -2e^-2x (1-2x) + e^-2x (-2)
　　　 = e^-2x (-2+4x) + e^-2x (-2)
　　　 = e^-2x (4x-4)
　　　 = 4 e^-2x (x-1)
4 e^-2x は常にプラスなので、
y ' ' が＋になるのは x-1 > 0 のとき（下に凸）。

y ' ' が - になるのは x-1 < 0 のとき（上に凸）。

y ' ' が 0 になるのは x-1 =　0 のとき（変曲点）。
　　　変曲点を求めると
　　　x=1のとき y = e^-2

これらを増減表に加えると 　

x		0.5		1
傾き y'	+	0	-	-	-
曲率 y' '	-	-	-	0	+
グラフ y	増加	極大値 0.5e-1	減少	変曲点 e-2	減少

これをみてグラフをかく。グラフが最終目的なので、表で終わらないようにね