情報通信工学科１年　解析（中川） 宿題9（増減表とグラフ）

増減表を書いてグラフを描きなさい。

(6) y = x e^-x （教科書レベル）

y ' = (x)' e^-x + x ( e^-x )'
　　 = 　　 e^-x + x ( -e^-x )'
　　 = 　　 e^-x(1-x)

傾き y ' が＋になるのは e^-x(1-x) が＋の時だが

e^-x は常にプラスなので、
1-x > 0 つまり 1> x のとき y ' が＋

傾き y ' が＋になるのは e^-x(1-x) が - の時だが

e^-x は常にプラスなので、
1-x < 0 つまり 1< x のとき y ' が-

傾き y ' が0になるのは (1-x)=0のとき。つまりx=1

このときy= e^-1

これらを増減表にかくと

x		1
傾き y'	+	0	-
グラフ y	／ 増加	極大値 e-1	＼ 減少

傾きの増加率も求める

y ' ' = { e^-x (1-x) } '
　　　 = ( e^-x )' (1-x) + e^-x (1-x)'
　　　 = -e^-x (1-x) + e^-x (-1)
　　　 = e^-x (x-2)
e^-x は常にプラスなので、
y ' ' が＋になるのは x-2 > 0 のとき（下に凸）。

y ' ' が - になるのは x-2 < 0 のとき（上に凸）。

y ' ' が 0 になるのは x-2 =　0 のとき（変曲点）。
　　　変曲点を求めると
　　　x=2のとき y = 2 e^-2

これらを増減表に加えると 　

x		1		2
傾き y'	+	0	-	-	-
曲率 y' '	-	-	-	0	+
グラフ y	増加	極大値 e-1	減少	変曲点 2 e-2	減少

これをみてグラフをかく。グラフが最終目的なので、表で終わらないようにね