情報通信工学科1年 解析(中川) 宿題9(増減表とグラフ)
- 増減表を書いてグラフを描きなさい。
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(3) y = -2 x3 + 6 x2 - 1 (少し慣れた初心者向き)
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y ' = -6x2 +12 x
= -6 ( x2 -2 x )
= -6x(x - 2)
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傾き y ' が+になるのは -6x(x - 2) が+の時 つまり x(x - 2)が - になるとき。
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(i) x >0 かつ x - 2 < 0 のとき
つまり x > 0 かつ x < 2のとき
つまり 0 < x < 2のとき
(ii) x <0 かつ x - 2 >0 のとき
つまり x < 0 かつ x > 2のとき
これは ありえない
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傾き y ' が - になるのは -6x(x - 2) が - の時 つまり x(x - 2)が + になるとき。
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(iii) x >0 かつ x - 2 >0 のとき
つまり x>0 かつ x>2のとき
つまり x > 2のとき
(iv) x <0 かつ x - 2 < 0 のとき
つまり x<0 かつ x<2のとき
つまり x < 0 のとき
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傾き y ' が 0 になるのは
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x =0 または x =2 のとき
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これらを増減表に書くと
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x |
| 0 |
| 2 |
|
傾きy' | - | 0 | + | 0 | - |
グラフy | \ 減少 | 極小 -1 | / 増加 | 極大 7 | \ 減少 |
極大値を求めると
x=0 のとき
y = -2 ・03 + 6・02 - 1 = -1 .....増減表に記入
極小値を求めると
x=2 のとき
y = -2 ・23 + 6・22 - 1 = 7 .....増減表に記入
.....増減表をみてグラフをかく。
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くわしく曲率も求めるなら
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y ' ' = ( -6x2 +12 x ) '
= - 12x+12
= -12 (x−1)
y ' ' が+になるのは
-12 (x−1)>0 のとき、つまり
- (x−1)>0 のとき、つまり
1> x のとき(下に凸)。
y ' ' が - になるのは
-12 (x−1)<0 のとき、つまり
0 < x-1 のとき、つまり 1 < x のとき(上に凸)。
y ' ' が 0 になるのは
x-1=0 のとき、つまり x = 1 のとき(変曲点)。
変曲点を求めると
x=1のとき
y = -2 ・13 + 6・12 - 1 =
これらを増減表に加えると
x |
| 0 |
| 1 |
| 2 |
|
傾き y' | - | 0 | + | + | + | 0 | - |
曲率 y' ' | + | + | + | 0 | - | - | - |
グラフ y | 減少 | 極小 -1 | 増加 | 変曲点 | 増加 | 極大 7 | 減少 |
これをみてグラフをかく。グラフが最終目的なので、表で終わらないようにね