情報通信工学科１年　解析（中川） 宿題9（増減表とグラフ）

増減表を書いてグラフを描きなさい。

(11) y = x log _e x

y ' = (x)’log _e x + x ( log _e x )’
　　 = log _e x + x (1/x)
　　 = log _e x + 1

傾き y ' が＋になるのは log _e x + 1 > 0 の時

つまり log _e x > -1 の時
つまり log _e x > -1 log _e e の時
つまり log _e x > log _e e ^-1 の時
つまり 　　　 x > 　　 e^-1 の時

傾き y ' が - になるのは x < e^-1 の時

傾き y ' が0になるのは x = e^-1 の時。

このときy= e^-1 log _e e^-1 = -e^-1

また、xはlogの真数になっているから、xはプラスのはずである。だから x > 0 の範囲だけ考えればよい。
これらを増減表にかくと

x	0		e-1
傾き y'		-	0	+
グラフ y		＼ 減少	極小値 -e-1	／ 増加

傾きの増加率も求めてみると

y ' ' = { log _e x + 1 } '
　　　= 1/ x
x >0 の範囲で、これは常にプラス。

x	0		e-1
傾き y'		-	0	+
曲率 y ''		+	+	+
グラフ y	0に漸近	減少	極小値 -e-1	増加

x → +0のとき、 y = x log _e x は 　　　

lim x→+0		lim x→+0	log e x	-∞
	{ x log e x } =		------ =	---
			(1/x)	+∞

ロピタルの定理を使って 　　　

lim x→+0		lim x→+0	{ log e x } '	lim x→+0	(1/x)	lim x→+0
	{ x log e x } =		--------- =		---- =		( -x ) = 0
			{1/x} '		-1/x2