情報通信工学科１年　解析（中川） 宿題9（増減表とグラフ）

１．増減表を書いてグラフを描きなさい。

(1) y = x³ - 3 x² + 2 　　（初心者向き, cf. p82）

y ' = 3x² - 6 x + 0
　　 = 3x（x - 2）

傾き y ' が＋になるのは　次の２つの場合

(i) x>0　かつ　x - 2 >0 のとき
　つまり x>0　かつ　 x>2のとき
　つまり 　 x>2のとき　y ' が＋

(ii) x<0　かつ　x - 2 <0 のとき
　つまり x<0　かつ　 x<2のとき
　つまり 　 x<0のとき　y ' が＋

傾き y ' が - になるのは次の２つの場合

(iii) x>0　かつ　x - 2 <0 のとき
　つまり x>0　かつ　 x<2のとき
　つまり 　0 < x < 2のとき　 y ' が -

(iv) x<0　かつ　x - 2 >0 のとき
　つまり x<0　かつ　 x>2のとき
　これは　ありえない

傾き y ' が ０ になるのは

　x=0　または　x - 2 =0 のとき
　つまり　x=0　または　x =2 のとき

これらを増減表に書くと

x		0		2
傾きy'	+	0	-	0	+
グラフy	／ 増加	極大 2	＼ 減少	極小 -2	／ 増加

極大値を求めると
x=0 のとき y = 0³ - 3・ 0² + 2 =2　......増減表に記入

極小値を求めると
x=2 のとき y = 2³ - 3・ 2² + 2 =-2　......増減表に記入

.............................これだけでも、グラフはかけます。グラフかいてね

くわしく曲率も求めるなら

y ' '= ( 3x² - 6 x ) '
　　 = 6x−6
　　 = 6 (x−1)

y ' ' が＋になるのは
(x-1)>0 のとき、つまり　x>1のとき（下に凸）。

y ' ' が - になるのは
(x-1) <0 のとき、つまり　x<1のとき（上に凸）。

y ' ' が 0 になるのは
(x-1)=0 のとき、つまり　x=1のとき （変曲点）。
変曲点を求めると
x=1のとき y = 1³ - 3・ 1² + 2 = 0　

これらを増減表に加えると

x		0		1		2
傾き y'	+	0	-	-	-	0	+
曲率 y' '	-	-	-	0	+	+	+
グラフ y	増加	極大 2	減少	変曲点 0	減少	極小 -2	増加

これをみてグラフをかく。グラフが最終目的なので、表で終わらないようにね