積分区間 周期 T = 2L の周期関数　f(x) のフーリエ級数展開を求めるときの「１周期積分」は

∫0T f(t)

cos(

2pmt T

) dt　ってかいてあるけど

∫-LL f(t)

cos(

2pmt 2L

) dt　の間違いじゃないの？(L=T/2)

どっちも間違いじゃないです。
f(x)も cos(2pmt/2L) も 周期T (=2L) で同じ形を繰り返しているなら
-T/2 から０までの区間と、2/TからTまでの区間は同じ値なので、
積分区間は､長さが１周期でさえあれば､
∫_-L^L でも ∫₀^2L でも値は同じになります。

つまりどっちでもいい。

普通のデータなら時刻がマイナスってことはあまりないので 0からにしてみました

教科書の練習問題などを手で積分する場合は
時刻０を挟んで＋−あったほうが計算しやすいことが多いので
そんな時はこっちで

am =

2 2L

∫-LL f(t)

cos(

2pmt 2L

) dt (ただしL=T/2)

bm =

1 L

∫-LL f(t)

sin(

pmt L

) dt

a0 =

1 2L

∫-LL f(t)

dt

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