初心者用離散フーリエ変換解説

離散フーリエ変換（DFT)

	初心者用DFT (離散フーリエ変換)解説東北工業大学情報通信工学科中川朋子
	周期関数を、いろんな周期のsinやcosの波の組み合わせで再現するフーリエ級数展開。大学の2年生くらいで習うことが多いです。ここまではだいたいついてこられました。だけど実際にデータファイルをもらって「FFTして」って言われても、このデータをどうしたらいいのか。	FFTとDFTって同じなの？
	しょうがないから教科書とかウェブサイトで「フーリエ変換」を探すと、　x(t) = ∫_-∞^∞ X(f) e^{2pi f t} df 　X(f) = ∫_-∞^∞ x(t) e^{-2pi f t} dt とかでてきちゃって嫌になっている皆さん。	フーリエ級数フーリエ変換同じ？違う？
	周期が無限大になってるし、積分の前についてた1/Tがなくなってるし、 sinやcosならわかるのに e^ix とか使ってるし、デルタ関数δとか窓関数とかでてくるし、積のフーリエ変換だから畳み込みとか言われても何のことだか、、、	e^ixはオイラーの公式たたみこみ
e^ixとかδとか使わない説明	教科書で e^ix を使うことが多いのは、式が短くてすむとか、式の形が揃ってなんか嬉しいとかの理由ですが、コンピュータープログラムにするときは結局 sin( )とcos( ) に戻してることも多いです。それなら最初から e^ix 使わなくてもいいじゃん、とも思うよね。	デフォルトで複素数が使えるのは fortran
難所１	また、周期関数用の「フーリエ級数展開」から何にでも使える「フーリエ変換」に持って行くとき周期Tを無限大にするところで Σを∫に変えるのに苦労して	ここで推定5割脱落
難所２	わざわざ無限にした時間から有限の長さのデータを切り取るとこでまた苦労	さらに推定3割脱落
難所３	サンプリングのためにデルタ関数δをかける頃には生き残っている人がほとんどいないのではないでしょうか。フーリエ変換はとても役に立つ技で、みんなが使えるようになったほうがいいのに途中の説明が難しいために断念する人が多いのは残念です。	さらに推定1割脱落
データ長を１周期と思ってやっちゃえ	そこで、周期を無限にする苦労と　　　有限にする苦労を両方スキップして、１周期分のデータＮ個を選び、これを周期関数だと思ってフーリエ級数展開してはどうでしょうか。数学的な厳密さは犠牲にしています。けど、とりあえず感じをつかんでから、詳しいことは後でじっくり対処してもよいのではないでしょうか。	だいたいわかってから教科書も読むと
	フーリエ級数展開の復習　　 DFTへすすむ

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