極形式 |
a + i b を A e iθ の形に表しなさい
( i は虚数単位, i2 = -1 )
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A e iθ のような形を極形式といいます。
Aは大きさ(amplitude)、θは偏角(phase)です。
この形に直すには、まず
左辺に元の式、右辺に最終目的の形を書いて、等しくなるように
a + i b = A e iθ とおき、
右辺にオイラーの公式を使って
a + i b = A ( cosθ + i sinθ )
Aを分配すると
a + i b = A cosθ + i A sinθ
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オイラーの公式
e iθ=
cosθ+ i sinθ
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| 恒等式なので |
両辺の 実数部（iがついてないとこ）を見比べると
| a |
+ i b = |
A cosθ |
+ i A sinθ |
これより
A cosθ = a
両辺の 虚数部（iがついてるとこ）を見比べると
| a + i |
b |
= A cosθ + i |
A sinθ |
これより
A sinθ = b
この２つの式を連立方程式にして、Aとθを求めていく。
A cosθ = a ....(1)
A sinθ = b ....(2)
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| まずA |
cosθ, sinθ を消すために
cos 2θ + sin 2θ = 1 を使いたいから
式(1)の２乗と式(2)の２乗を足すと
( A cosθ )2 + ( A sinθ)2 = a2 + b2
A2でまとめて
A2 ( cos2θ + sin2θ ) = a2 + b2
ここで ( cos 2θ+sin2θ)=1 だから
A2 = a2 + b2
∴ A = √{ a2 + b2
}
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ふつう振幅Aは＋
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| 次に偏角θ |
得られたAを(1)(2)に代入
cosθ = (a /A)
sinθ = (b /A)
この両方を満たす角度θ を考える。
「電卓持ち込み不可」の試験なら、30度か45度か60度、あるいはそれに関係する
-30度か-45度か-60度、
120度、135度、150度、
-120度、-135度、-150度、
などしか普通出せないので、図解して考える。
それぞれ２つずつ角度の候補があるのが普通なので、
両方に共通しているものを選ぶ。
例：
cosθ = 1 /2 になるのは、θ = 60度と θ = -60度。
sinθ = -√3 /2 になるのは、θ = -60度と θ = -120度。
両方に共通しているのは、θ = -60度。
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三角形の図を
描いてみてね
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| 電卓を使う場合 |
切りのいい数字にならないときは、式(2)を式(1)で割って
(A sinθ ) / (A cosθ ) = -b / a
A で約分、左辺は tanθ だから
tanθ = -b / a
アークタンジェントを使って
∴ θ = tan -1 (-b/a)
ここで関数電卓を使います。
電卓は、結果が「度」か「ラジアン」か切り替えられるので、どっちで出した答えか確認しておくこと。
θはラジアン表示になおして下さい。
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| 完成 |
得られたAとθ（ラジアン）を A e iθ の形に代入して完成です。
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