東北工業大学 情報通信工学科 中川研究室


複素数の極形式


極形式
a + i b を A e の形に表しなさい
( i は虚数単位, i2 = -1 )



A e のような形を極形式といいます。
A大きさ(amplitude)、θ偏角(phase)です。

この形に直すには、まず
左辺に元の式、右辺に最終目的の形を書いて、等しくなるように
a + i b = A e とおき、

右辺にオイラーの公式を使って
a + i b = A ( cosθ + i sinθ )

Aを分配すると
a + i b = A cosθ + i A sinθ



オイラーの公式
e=
cosθ+ i sinθ
恒等式なので 両辺の 実数部(iがついてないとこ)を見比べると
a + i b = A cosθ + i A sinθ
これより
A cosθ = a

両辺の 虚数部(iがついてるとこ)を見比べると
a + i b = A cosθ + i A sinθ
これより
A sinθ = b

この2つの式を連立方程式にして、Aとθを求めていく。
A cosθ = a ....(1)
A sinθ = b ....(2)

まずA cosθ, sinθ を消すために cos 2θ + sin 2θ = 1 を使いたいから
式(1)の2乗と式(2)の2乗を足すと
( A cosθ )2 + ( A sinθ)2 = a2 + b2

A2でまとめて
A2 ( cos2θ + sin2θ ) = a2 + b2

ここで ( cos 2θ+sin2θ)=1 だから
  A2         = a2 + b2
∴       A  = √{ a2 + b2 }
ふつう振幅Aは+

次に偏角θ 得られたAを(1)(2)に代入
cosθ = (a /A)
sinθ = (b /A)

この両方を満たす角度θ を考える。

「電卓持ち込み不可」の試験なら、30度か45度か60度、あるいはそれに関係する -30度か-45度か-60度、 120度、135度、150度、 -120度、-135度、-150度、 などしか普通出せないので、図解して考える。

それぞれ2つずつ角度の候補があるのが普通なので、
両方に共通しているものを選ぶ。
例:
cosθ =  1 /2 になるのは、θ = 60度と θ = -60度。
sinθ = -√3 /2 になるのは、θ = -60度と θ = -120度。

両方に共通しているのは、θ = -60度。


三角形の図を
描いてみてね
電卓を使う場合 切りのいい数字にならないときは、式(2)を式(1)で割って
(A sinθ ) / (A cosθ ) = -b / a
A で約分、左辺は tanθ だから
   tanθ   =   -b / a  
アークタンジェントを使って
∴     θ = tan -1 (-b/a) 

ここで関数電卓を使います。 電卓は、結果が「度」か「ラジアン」か切り替えられるので、どっちで出した答えか確認しておくこと。 θはラジアン表示になおして下さい。

完成 得られたAとθ(ラジアン)を A e の形に代入して完成です。



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