東北工業大学 情報通信工学科 中川研究室


三角関数の位相表示


位相表示
a cos( x ) + b sin( x ) を
A cos( x +φ ) の形に表しなさい
( a, b は定数 )


Aが振幅
φが位相

A cos( x +φ ) のような形を位相表示といいます。
A振幅(amplitude)、φ位相(phase)です。

この形に直すには、まず
左辺に元の式、右辺に最終目的の形を書いて、等しくなるように
a cos( x ) + b sin( x ) = A cos( x +φ ) とおき、

右辺に加法定理を使って
a cos( x ) + b sin( x ) = A ( cos( x ) cosφ -sin( x ) sinφ )

Aを分配すると
a cos( x ) + b sin( x ) = A cos( x ) cosφ - A sin( x ) sinφ

掛け算の順序は入れ替えてもいいので
a cos( x ) + b sin( x ) = A cosφ cos( x ) - A sinφ sin( x )

加法定理
cos(A+B)=
cosAcosB-sinAsinB
恒等式なので 両辺の cos( x ) に掛け算されているものを見比べると
a cos( x ) + b sin( x ) = A cosφ cos( x ) - A sinφ sin( x )
これより
A cosφ = a

両辺の sin( x ) に掛け算されているものを見比べると
a cos( x ) + b sin( x ) = A cosφ cos( x ) - A sinφ sin( x )
これより
-A sinφ = b

この2つの式を連立方程式にして、Aとφを求めていく。
A cosφ = a ....(1)
-A sinφ = b ....(2)

まず振幅A cosφ, sinφ を消すために cos 2φ + sin 2φ = 1 を使いたいから
式(1)の2乗と式(2)の2乗を足すと
( A cosφ )2 + ( -A sinφ)2 = a2 + b2

A2でまとめて
A2 ( cos2φ + sin2φ ) = a2 + b2

ここで ( cos 2φ+sin2φ)=1 だから
  A2         = a2 + b2
∴       A  = √{ a2 + b2 }
ふつう振幅Aは+

次に位相φ 得られたAを(1)(2)に代入
cosφ = (a /A)
sinφ = -(b /A)

この両方を満たす角度φ を考える。

「電卓持ち込み不可」の試験なら、30度か45度か60度、あるいはそれに関係する -30度か-45度か-60度、 120度、135度、150度、 -120度、-135度、-150度、 などしか普通出せないので、図解して考える。

それぞれ2つずつ角度の候補があるのが普通なので、
両方に共通しているものを選ぶ。
例:
cosφ =  1 /2 になるのは、φ = 60度と φ = -60度。
sinφ = -√3 /2 になるのは、φ = -60度と φ = -120度。

両方に共通しているのは、φ = -60度。


三角形の図を
描いてみてね
電卓を使う場合 切りのいい数字にならないときは、式(2)を式(1)で割って
(A sinφ ) / (A cosφ ) = -b / a
A で約分、左辺は tanφ だから
   tanφ   =   -b / a  
アークタンジェントを使って
∴     φ = tan -1 (-b/a) 

ここで関数電卓を使います。 電卓は、結果が「度」か「ラジアン」か切り替えられるので、どっちで出した答えか確認しておくこと。

完成 得られたAとφを A cos( x +φ ) の形に代入して完成ですが、 φがラジアン表示ならそのまま、「度」であらわすなら 数値の右肩に必ず「 °」を書くこと。

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