| オイラーの公式 eix=cos(x)+i sin(x)
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前のページより続く
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前のページで、
eix が cos(x) と sin(x) の１次結合
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eix = A cos(x) + B sin(x)
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で書けることが判ったので、その定数A,Bを求めましょう。
等号[ = ]を使って書いてあるからには、
この式はどんなときも成り立つわけで、
当然 x= 0 のときも成り立つので、
x=0 を代入すると
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e0 = A cos(0) + B sin(0)
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e0 = 1, cos(0) =1, sin(0)=0 だから
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∴ 1 = A + 0
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また、元の式を微分すると
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( eix )’= ( A cos(x) + B sin(x) )’
ここでまた懸案の ( eix ) ' が出ました。
( eix ) ' = i eix と書けるとしたら
i eix = - A sin(x) + B cos(x)
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これに x= 0 を代入すると、
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i e0 = - A sin(0) + B cos(0)
∴ i = 0 + B
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A=1, B=i を元の式に代入すれば
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eix = cos(x) + i sin(x)
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これがオイラーの公式です。
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( eax ) ’= a eax
( cos(x) ) ’ = -sin(x)
( sin(x) ) ’ = cos(x)
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懸案チェック |
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