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１次従属か
１次独立か |
そもそも気になっていたのは
eix を cos(x) と sin(x) の組み合わせで書いていいのか、
つまり
eix と cos(x) と sin(x) は１次従属なのか、
ということでした。
今なら判別方法がわかります。
cos(x) と sin(x) と eix のロンスキー行列W を作ってみましょう。
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ロンスキー行列 |
cos(x) と sin(x) と eix のロンスキー行列Wは
| W = |
| ( |
cos(x) |
sin(x) |
eix |
) |
| -sin(x) |
cos(x) |
( eix ) ' |
| -cos(x) |
-sin(x) |
( eix ) ' ' |
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ここで懸案の ( eix ) ' が出てきました。
( eix ) ' = i eix と書けるとしたら
| W = |
| ( |
cos(x) |
sin(x) |
eix |
) |
| -sin(x) |
cos(x) |
i eix |
| -cos(x) |
-sin(x) |
-eix |
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１行目と３行目が似てますね。マイナスがついただけみたい。
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行列式 |
こんなとき、行列式は０になります。
| ｜W｜= |
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cos(x) |
sin(x) |
eix |
| |
| -sin(x) |
cos(x) |
i eix |
| -cos(x) |
-sin(x) |
-eix |
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= 0 |
つまり
ロンスキー行列W の行列式｜W｜が０なので
ロンスキー行列W の逆行列がなく
c1=
c2=
c3=0以外の組み合わせがあり
cos(x) と sin(x) と eix は一次従属
つまり
eix = A cos(x) +B sin(x)
の形に書ける、ということです。
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行列式の
計算方法は
大学１年の
代数幾何で
習うよね
|W|=0なら
一次従属
|W|≠0なら
一次独立 |
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続く
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